Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ với a,b,c dương. Biết A, B, C di động trên các tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $a+b+c=2$. Biết rằng khi a,b,c  thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ $M\left(2016;0;0\right)$ tới mặt phẳng (P).

A. 2017

B. $\frac{2014}{\sqrt{3}}.$

C. $\frac{2016}{\sqrt{3}}.$

D. $\frac{2015}{\sqrt{3}}.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC.

Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng   O A B và cắt mặt phẳng trung trực OC tại I x 1 ; y 1 ; z 1  suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và z 1 = c 2  (do DOKI là hình chữ nhật).

Tương tự  D F = a 2 ⇒ x 1 = a 2 ; y 1 = b 2 ⇒ I a 2 ; b 2 ; c 2   .

Suy ra  x 1 + y 1 + z 1 = a + b + c 2 = 1 ⇒ I ∈ P : x + y + z − 1 = 0   .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) là d = 2015 3 .