Cho các số thực x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn 0 < x 1 < x 2 < x 3 < x 4 và hàm số y = f x . Biết hàm số y = f ' x có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0 ; x 4 . Đáp áp nào sau đây đúng?
A. M + m = f 0 + f x 3 .
B. M + m = f x 3 + f x 4 .
C. M + m = f x 1 + f x 2 .
D. M + m = f 0 + f x 1 .
Đáp án A
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' x , ta có nhận xét:
Hàm số y = f ' x đổi dấu từ – sang + khi qua x = x 1 .
Hàm số y = f ' x đổi dấu từ + sang – khi qua x = x 2 .
Hàm số y = f ' x đổi dấu từ – sang + khi qua x = x 3 .
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f x trên đoạn 0 ; x 4 như sau:
Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được max 0 ; x 4 [ f x = max f 0 , f x 2 , f x 4 min 0 ; x 4 f x = min f x 1 , f x 3 .
Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có:
∫ x 1 x 2 f ' x d x < ∫ x 2 x 3 0 − f ' x d x ⇒ f x 3 < f x 1 ⇒ min 0 ; x 4 f x = f x 3
Tương tự, ta có
∫ 0 x 1 0 − f ' x d x > ∫ x 1 x 2 f ' x d x ⇒ f 0 > f x 2 ∫ x 2 x 3 0 − f ' x d x > ∫ x 3 x 4 f ' x d x ⇒ f x 2 > f x 4
⇒ f 0 > f x 2 > f x 4 ⇒ max 0 ; x 4 f x = f x 3
Vậy max 0 ; x 4 f x = f 0 ; min 0 ; x 4 f x = f x 3