Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AD = 2 BC , AB = BC = a , SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . Tính góc giữa (AC, (SCD)).
A. 60 0
B. 75 0
C. 45 0
D. 30 0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Gọi M là trung điểm AD, khi đó CM = MA = MD nên tam giác ACD vuông tại C.
Đáp án B
Diện tích hình thang ABCD là:
S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của cạnh AD.
∆ A B C vuông cân tại B, ∆ I C D vuông cân tại I và có AB=IC=a nên A C = C D = a 2
Khi đó A C 2 + C D 2 = A D 2 nên ∆ A C D vuông cân tại C.
Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong ∆ S A E , kẻ A H ⊥ S E ( 1 )
Ta có
E D ⊥ S A E D ⊥ A E ⇒ E D ⊥ ( S A E ) ⇒ E D ⊥ A H ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra A H ⊥ ( S D E )
Vì A C / / E D nên
d A C , S D = d A C , S D E = d A ; S D E = A H
Trong ∆ S A E , 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2
⇔ A H = S A . A E S A 2 = A E 2 ⇔ A H = a . a . 2 a 2 + a 2 ) 2 = 6 a 3
Vậy d A C , S D = 6 a 3
Cách 2:
Dễ thấy D C ⊥ ( S A C ) . Trên mặt phẳng (ABCD)
dựng: A G / / C D , D G / / A C , D G ∩ A B = E
Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1)
Tính được: AE=AD=2a.
Mà A C / / ( S D E )
⇒ d A C , S D = d A C , S D E = d A , S D E = A H
Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)
Ta có: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2 + 1 A D 2
⇒ A H = 6 a 3
Cách 3:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
Khi đó A ( 0 ; 0 ; 0 ) ; C ( a ; a ; 0 ) ;
D ( 0 ; 2 a ; 0 ) ; S ( 0 ; 0 ; a )
Do đó A C ⇀ = ( a ; a ; 0 ) ; S D ⇀ = ( 0 ; 2 a ; - a ) ; S A ⇀ = ( 0 ; 0 ; - a ) ;
và A C ⇀ ; S D ⇀ = ( - a ; a ; 2 a )
Ta có d A C , S D = A C ⇀ ; S D ⇀ . S A ⇀ A C ; ⇀ S D ⇀
= - a . 0 + a . 0 + 2 a . ( - a ) - a 2 + a 2 + 2 a 2 = 6 a 3
Chọn đáp án C.
Đáp án C
Kẻ CN ⊥ AB ta dễ dàng tính được
=> tam giác ADC vuông tại C. Từ đó NC ⊥ (SAC)
Gọi O là trung điểm của AC, dễ dàng cm được BD ⊥ (SAC)
=> MK ⊥ (SAC). vơí K là trung điểm của SO, từ đó KC là hc của MN lên .
Ta kẻ KZ ⊥ AC
với T là trung điểm của AB.
Gọi α là góc tạo với MN và (SAC)