Question

[Pham Trong Bach]

Xét các số thực a, b thỏa mãn $a\ge b>1.$ Biết rằng biểu thức $P=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\sqrt{{\log }_a\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b=a^k.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  $k\in \left(2;3\right)$

B.  $k\in \left(\frac{3}{2};2\right)$

C.  $k\in \left(-1;0\right)$

D.  $k\in \left(0;\frac{3}{2}\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Đặt  0 < t = log a b ≤ 1

⇒ P = log a a b + log a a + log a b = 1 + t + 1 − t = f t

f ' t = 1 − 1 2 1 − t → f ' t = 0

⇔ t = 3 4 ⇒ f 3 4 = 9 4 .

Dựa vào bảng biến thiên,

suy ra f t 0 < t ≤ 1 ≤ f 3 4  

Khi đó t = 3 4 = log a b

⇔ a 3 4 = b ⇔ k = 3 4