Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?
A. 32 a 3 3
B. a 3 32
C. a 3 3 32
D. a 3 3 4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B.
Dễ thấy:
A B ' C ' ; M N P ^ = A B ' C ' ; M N C B ^
= 180 0 − A B ' C ' ; A ' B ' C ' ^ − M N B C ; A ' B ' C ' ^ = 180 0 − A ' B C ; A B C ^ − M N B C ; A B C . ^
Ta có:
M N B C ; A B C ^ = A ' P ; A P ^ = A ' P A ^ = arctan 2 3 .
Và
M N B C ; A B C ^ = S P ; A P ^ = S P A ^ = arctan 4 3 ,
với S là điểm đối xứng với A qua A’,
thì S A = 2 A A ' = 4.
Suy ra
cos A B ' C ' ; M N P ^ = c os 180 0 -arctan 2 3 − arctan 4 3 = 13 65 .
Do tam giác ABC đều cạnh a và M là trung điểm BC cho nên A M ⊥ B C và A M = a 3 2 .
A M ⊥ B C và A A ' ⊥ B C ⇒ A ' M ⊥ B C
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A ' M A ^ = 60 o
Tam giác A’AM vuông góc tại A nên A A ' = A M . tan 60 o = a 3 2 . 3 = 3 a 2
Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là S B B ' C ' C = B B ' . B C = 3 a 2 2
A M ⊥ B C và A M ⊥ B B ' ⇒ A M ⊥ B B ' C ' C
Thể tích khối chóp A.BB’C’C là: V = 1 3 . S B B ' C ' C . A M = 1 3 . 3 a 2 2 . a 3 2 = a 3 3 4 (đvtt).
Đáp án A
Ta có mặt phẳng (AA’I) là mặt phẳng qua trục hình trụ. Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKK’I’. Đoạn A’I cắt KK’ tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.
Ta có:
Xét tam giác vuông IKM ta có:
IM 2 = IK 2 + KM 2
Vậy
Đáp án B