Cho a,b,c thoả mãn: a+ b+ c >0 ; ab+ bc+ ac >0 ; abc >0. Chứng minh rằng: a, b, c đều dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 2 2016
Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh >>>>> http://i.imgur.com/B7n0Igp.png????????????
24 tháng 8 2020
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3
11 tháng 1 2015
cái này bạn dùng bất đẳng thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)2 lần với từng phân thức. rồi cộng vế theo vế là xong
TA
1 tháng 5 2017
Với mọi x, y > 0 ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y
Ta có: \(\frac{2}{2a+b+c}=\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (1)
Tương tự \(\frac{2}{2b+c+a}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2) và \(\frac{2}{2c+a+b}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\) (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được: \(A\le\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
9 tháng 9 2018
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
DO:
\(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge9+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Tích t vs ku