cho a,b,c >_ 0 và a+b+c =1
Tìm GTLN của F = \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)
\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
TN
1 tháng 6 2017
Đơn giản là Cauchy-Schwarz
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=3\cdot\left(2a+2b+2c\right)=6\left(a+b+c\right)=1\)
\(\Rightarrow S^2\le6\Rightarrow S\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
1 tháng 6 2017
ta dự đoán điểm khi : \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{a+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Khi đó ta có :
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{a+b}\le\frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{b+c}\le\frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{c+a}\le\frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}\)
cộng từng vế 3 bất phương trình ta có
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.S\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)\right)=2\) \(\Leftrightarrow S\le2.\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)
Vậy \(S_{max}=\sqrt{6}\)dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
26 tháng 6 2017
\(A=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}A=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)\)
\(\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
26 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(A^3=\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)^3\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=9\cdot2\left(a+b+c\right)=9\cdot2=18\)
\(\Rightarrow A^3\le18\Rightarrow A\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
13 tháng 11 2018
theo cauchy schwars ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{a+b}.1\le a+b+1\\2\sqrt{c+b}.1\le c+b+1\\2\sqrt{a+c}.1\le a+c+1\end{matrix}\right.\)
cộng vế theo vế ta đc \(2\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le2\left(a+b+c\right)+3=5\)
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\dfrac{5}{2}\)
vậy \(P_{MAX}=\dfrac{5}{2}\)
25 tháng 7 2020
Dễ thấy theo AM - GM ta có:
\(P\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}\cdot\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}\cdot\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}}}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\)
Mặt khác theo AM - GM:
\(\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\le\frac{\left(c+ab+a+bc\right)^2}{4}=\frac{\left(b+1\right)^2\left(a+c\right)^2}{4}\)
Tương tự thì:
\(\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\le\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\)
Ta cần chứng minh:\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le8\)
Áp dụng tiếp AM - GM:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\frac{\left(a+1+b+1+c+1\right)^3}{27}=8\)
Vậy ta có đpcm
Chuyên Phan năm nay :))
bạn giải giùm mình đc ko . chiều nay mình có bài kiểm tra
\(F^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+a+c+b+c\right)=6\left(a+b+c\right)=6\)
=> F max = \(\sqrt{6}\) <=> a=b=c =1