Question

[Pham Trong Bach]

Hệ phương trình x − 1 y 2 + 6 = y x 2 + 1 y − 1 x 2 + 6 = x y 2 + 1 có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) mà x > y

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Hệ đã cho  ⇔ x y 2 + 6 x − y 2 − 6 = y x 2 + y y x 2 + 6 y − x 2 − 6 = x y 2 + x

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 x = y x + y − 2 x y + 7 = 0

+ Nếu x = y thay vào hệ ta có: x 2 – 5 x + 6 = 0 ⇔ x = y = 2 x = y = 3

+ Nếu x + y – 2xy + 7 = 0 ⇔ 2x + 2y – 4xy + 14 = 0

⇔ (2x – 1) + 2y (1 – 2x) = −15 ⇔ (1 – 2x) (1 – 2y) = 15

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

x 2 + y 2 – 5 x – 5 y + 12 = 0 ⇔ 4 x 2 – 20 x + 25 + 4 y 2 – 20 y + 25 – 2 = 0

⇔ ( 2 x – 5 ) 2 + ( 2 y – 5 ) 2 = 2 ⇔ ( 2 x – 5 ) 2 + ( 2 y – 5 ) 2 = 2

Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5

Ta có  a 2 + b 2 = 2 a + 4 b + 4 = 14

⇔ a + b 2 − 2 a b = 2 a b + 4 a + b = − 1 ⇔ a + b = 0 a b = − 1 a + b = − 8 a b = 31

Trường hợp 1: a + b = 0 a b = − 1 ⇔ (x; y) = (3; 2), (2; 3)

Trường hợp 2: a + b = − 8 a b = 31 vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y)  {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)

Đáp án:A