Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = x . Giả sử S A ⊥ A B C và góc giữa hai mặt (SBC) và (SCD) bằng 120 o . Tìm x
A. a
B. 2a
C. a 2
D. 3 a 2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn D.
- Kẻ BH ⊥ SC ⇒ DH ⊥ SC (hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
- Có 2 trường hợp xảy ra:
TH1:
- Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có
TH2:
- Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:
gọi K thuộc SC sao cho DK \(\perp\) SC , BK \(\perp\)SC
=> ((SCD),(SBC)) = (DK,KB)
tính được SD = \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)a, AC = \(\sqrt{3}\)a, SC= \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)a
\(DC^2=SD^2+SC^2-2SD.SC.cos\widehat{DSC}\)
=> \(\widehat{DSC}\)=....... (số xấu)
\(sin\widehat{DSC}\)= \(\frac{DK}{SD}\)=> DK = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)=BK
\(DB^2=DK^2+BK^2-2.DK.BK.cos\alpha\)=> \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)
Đáp án D
Hạ H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống SB và SD.
Ta có:
A H ⊥ S B A H ⊥ B C ⇒ A H ⊥ S B C . Tương tự A K ⊥ S D C
Như vậy S B C , S D C ^ = A H , A K ^ = H A K ^
Ta có Δ S A B = Δ S A D suy ra A H = A K . Vì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60 0 nên ΔAHK đều.
Ta có S H S B = S K S D = H K B D , mà S H S B = S A 2 S B 2 = x 2 x 2 + a 2 = K H a 2 suy ra K H = a 2 x 2 x 2 + a 2 .
Ta lại có 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A B 2 = a 2 + x 2 a 2 x 2 suy ra A H 2 = a 2 x 2 a 2 + x 2 .
ΔAHK đều nên ta có
K H 2 = A H 2 ⇔ a 2 x 2 x 2 + a 2 2 = a 2 x 2 a 2 + x 2 ⇔ x = a .
Vậy x = a thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60 0 .
Chọn B
Để cho gọn ta chọn a =1
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A = O(0;0;0) và B(1;0;0), D(0;1;0) S(0;0;x) với x = SA >0
Suy ra C(1;1;0)
=> VTPT của mặt phẳng (SCD) là
=> VTPT của mặt phẳng (SBC) là
Từ giả thiết bài toán, ta có
Dễ dàng chứng minh \(BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC\)
Gọi O là tâm đáy, kẻ \(OH\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(BDH\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BHD}\) hoặc góc bù của nó là góc giữa (SBC) và (SCD) \(\Rightarrow\widehat{BHD}=60^0\) hoặc \(120^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BHO}\) bằng \(30^0\) hoặc \(60^0\)
Tam giác ABD đều \(\Rightarrow BD=a\) \(\Rightarrow OB=\dfrac{a}{2}\)
TH1: \(\widehat{BHO}=30^0\)
\(\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan30^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=OC\Rightarrow\Delta\) vuông OCH có cạnh huyền bằng cạnh góc vuông (loại)
TH2: \(\widehat{BHO}=60^0\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan60^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow SA=AC.tan\widehat{SCA}=AC.\dfrac{OH}{\sqrt{OC^2-OH^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
Từ A kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(AD||BC\Rightarrow AD||\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(BK;AD\right)=d\left(AD;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AM\)
\(\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{11}{3a^2}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{33}}{11}\)
Gọi O là tâm hình vuông và H là hình chiếu của O lên SC
Ta có O H D ^ = 60 o ( D H B ^ là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) )
Diện tích của ∆ S O C là
x a 2 2 = O H . S C ⇒ O H = x a 2 2 x 2 + 2 a a O H = a 2 2 . 1 3
Do đó x = a
Đáp án A