Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có ^A=1/2^ABC nên ^A=60o=>t/gABD đều
=>^D1=^D2=60o
=>^ABD=^HBK=60o=>^B1=^B2
Xét t/gABH và t/gDBK ta có:
AB=BD
^B1=^B2
^A=^D2
=>t/gABD=^DBK(g-c-g)
=>AH=DK mà AD=DC nên
=>HD=KC
=>DH+DK=AD (không đổi)
=>đpcm.
b)Có BH=BK
Lại có: ^HBK=60o=>t/gHBK đều
=>HK nhỏ nhất <=> BH nhỏ nhất
<=>BH_|_AD=>H là trung điểm AD khi đó K cũng là trung điểm của DC
Áp dujnh định lý pi-ta-go ta có:BH2=AB2-AH2=22-12=3=>BH=√33
Vậy H và K để HK ngắn nhất: √3
1: ABCD là hình thoi
=>góc A+góc B=180 độ
mà góc B=2*góc A
nên góc A=180/3=60 độ
Xét ΔABD có AB=AD và góc A=60 độ
nên ΔABD đều
2: Xét ΔABH và ΔDBK có
góc BAD=góc BDK
BA=BD
góc ABH=góc DBK
=>ΔABH=ΔDBK
=>AH=DK; BH=BK
Xét ΔBHK có BH=BK và góc HBK=60 độ
nên ΔBHK đều
3: DH+DK=DH+AH=DA ko đổi
a) Ta có ^A=1/2^ABC nên ^A=60o=>t/gABD đều
=>^D1=^D2=60o
=>^ABD=^HBK=60o=>^B1=^B2
Xét t/gABH và t/gDBK ta có:
AB=BD
^B1=^B2
^A=^D2
=>t/gABD=^DBK(g-c-g)
=>AH=DK mà AD=DC nên
=>HD=KC
=>DH+DK=AD (không đổi)
=>đpcm.
b)Có BH=BK
Lại có: ^HBK=60o=>t/gHBK đều
=>HK nhỏ nhất <=> BH nhỏ nhất
<=>BH_|_AD=>H là trung điểm AD khi đó K cũng là trung điểm của DC
Áp dujnh định lý pi-ta-go ta có:BH2=AB2-AH2=22-12=3=>BH=\(\sqrt{3}\)
Vậy H và K để HK ngắn nhất: \(\sqrt{3}\)
a)Ta có:\(HD\perp AH;AK\perp AH\Rightarrow HD//AK\)
Mà\(AK\perp KD\Rightarrow HD\perp KD\)
Suy ra tứ giác AHDK là hình chữ nhật suy ra HK=AD(đpcm)
b)Ta có vì AHDK là hình vuông nên AH=HD=DK=AK
Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H
\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{HDA}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAK}=90^0-45^0=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{DAK}\)hay AD là tia phân giác của góc A
Vậy AHDK là hình vuông khi và chỉ khi AD là tia phân giác của góc A
c)Ta có:Để HK nhỏ nhất thì AD nhỏ nhất
Suy ra AD vuông góc với BC
Vậy HK nhỏ nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của A trên BC
Mình bổ sung thêm :
\(\widehat{AKD}=67,5^o\Rightarrow\widehat{DAK}=22,5^o\)(Do \(\Delta ADK\)vuông tại D) (3)
\(\Delta AKH\)cân tại A (cmt) => AE vừa là đường cao đồng thời là đường trung trực của cạnh HK và là đường phân giác của \(\widehat{KAH}\)=> \(\widehat{EAK}=\widehat{EAH}=\frac{45^o}{2}=22,5^o\)(4)
Mặt khác CA là đường phân giác của \(\widehat{HCK}\)(Do ABCD là hình vuông) => CA là đường trung trực của cạnh HK (\(\Delta CHK\)vuông cân tại C (cmt)) . Hơn thế nữa, AE cũng là đường trung trực của cạnh HK (cmt) => A, E, C là 3 điểm thẳng hàng (5)
Từ (3), (4) và (5) => K là chân đường phân giác của \(\widehat{CAD}\)(K \(\in CD\))
cmtt : H là chân đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)(H \(\in BC\))
a. DB là đường chéo của hình vuông ABCD => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\widehat{KDM}=45^o\)(t/c)
Xét tứ giác AMKD ta có: \(\widehat{KDM}=\widehat{KAM}=\widehat{KAH}=45^o\)=> tứ giác AMKD nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết: "đỉnh kề nhau của 1 tứ giác cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp")
=> \(\widehat{ADK}+\widehat{AMK}=180^o\)(Hệ quả)
ABCD là hình vuông => \(\widehat{ADK}=90^o\)=> \(\widehat{AMK}=90^o\)=> KM \(\perp AH\)(ĐPCM)
b. Chứng minh tương tự câu a ta có: ANHB là tứ giác nội tiếp và HN \(\perp AK\)
Xét \(\Delta AHK\)có: HN và KM lần lượt là 2 đường cao hạ từ đỉnh H và K và E là giao điểm của HN và KM (gt) => E là trực tâm của \(\Delta AHK\)(dhnb) => AE là đường cao thứ 3 của \(\Delta AHK\)=> AE \(\perp\)HK (đpcm)
c. \(S\Delta CHK=\frac{1}{2}CH.CK\)
\(S\Delta CHKmax\)<=> CH.CK max
Do CH, CK >0 => CH.CK \(\le\frac{CH^2+CK^2}{2}\)=> CH.CK max = \(\frac{CH^2+CK^2}{2}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi CH = CK
=> BH = DK (Do BC = DC (cạnh hình vuông) và CH = CK )
Xét \(\Delta ADK\)VÀ \(\Delta ABH\)có:
AD = AB (vì ABCD là hình vuông)
\(\widehat{ADK}=\widehat{ABH}\)(\(=90^o\))
DK = BH (cmt)
=> \(\Delta ADK=\Delta ABH\)(c.g.c) => AK = AH => \(\Delta AKH\)cân tại A (Định nghĩa) => \(\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\frac{180^o-45^o}{2}=67,5^o\)
Xét \(\Delta CHKcó\) CH = CK => \(\Delta CHK\)vuông cân tại C => \(\widehat{CKH}=\widehat{CHK}=45^o\)
Mặt khác: \(\widehat{AKD}+\widehat{AKH}+\widehat{CKH}=180^o\)=> \(\widehat{AKD}=67,5^o\)
Xét \(\Delta ADK\)vuông tại D có: DK = AK. cos \(\widehat{AKD}\)=> AK = a. cos \(67,5^o\)=> CK = CD - DK = a - a. cos \(67,5^o\)=CH
=a. (1 - cos\(67,5^o\)) (1)
=> S\(\Delta CHK\)max = \(\frac{1}{2}.\frac{CH^2+CK^2}{2}\)(2)
Thay (1) vào (2) => Kết quả
