Question

[Pham Trong Bach]

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với AB và của IO' với AC

a, Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn này

b, Chứng minh IE.IO + IF.IO' =  1 2 A B 2 + A C 2

c, Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K)

d, Cho OO' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC lớn nhất 

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

a, Chứng minh tứ giác AEIF là hình chữ nhật và K là trung điểm AI

b, Có IE.IO =  I B 2 = B C 2 4 và IF.IO' =  I C 2 = B C 2 4

=> 2.(IE.IO+IF.IO') =  A B 2 + A C 2

c, PK Là đường trung bình của ∆OAI và là trung trực của EA

Ta có ∆PEK = ∆PAK nên  P E K ^ = P A K ^

Vậy  P E K ^ = 90 0 => đpcm

d, ∆ABC:∆IOO’ =>  S A B C S I O O ' = B C O O ' 2 =>  S A B C = S I O O ' . B C 2 O O ' 2

mà BC = 2AI'; OO' = 2a; S O I O ' = 1 2 . 2 a . I A = a . I A => S A B C = I A 2 a

I A 2 = R R ' ⩽ R + R ' 2 2 = a 2 => IA lớn nhất bằng a khi R=R’