Tìm \(x,y\in Z\): \(x^3+7y=y^3+7x\left(x>y>0\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
6 tháng 11 2017
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
6 tháng 11 2017
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
17 tháng 10 2020
Ta có:
\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:
\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1
NT
1
VA
27 tháng 7 2016
Ta có :
\(x\left(y+3\right)=\frac{7y-21}{7\left(y+3\right)}=0\)
\(x\left(y+3\right)=\frac{7\left(y-3\right)}{7\left(y+3\right)}=0\)
\(x\left(y+3\right)=\frac{y-3}{y+3}=0\)
\(\Rightarrow x\left(y+3\right)=0\)
+) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\y+3=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
+) \(\Rightarrow\frac{y-3}{y+3}=0\Rightarrow y-3=0\Rightarrow y=3\)
Vậy \(x=0;y\in\left\{-3;3\right\}\)
Ủng hộ mk nha !!! ^_^
KN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
PN
15 tháng 8 2020
dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi
\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc
EZ :)))
\(x^3-y^3=7\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=7\)
Nếu \(y\ge2\Rightarrow x\ge3\Rightarrow x^2+xy+y^2>9>7\) (ktm)
\(\Rightarrow y< 2\Rightarrow y=1\)
\(\Rightarrow x^2+x+1=7\Rightarrow x\)
\(\Leftrightarrow x^3-y^3+7y-7x=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-7\left(x-y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-7\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2+xy+y^2-7=0\left(x>y\Leftrightarrow x-y>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2+xy+y^2=7\)
Vì \(x>y>0\) nên \(x^2< 7\)
Mà \(x\in Z\Leftrightarrow x^2\in\left\{1;4\right\}\)
Với \(x^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y^2+y-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-3\end{matrix}\right.\\x=-1\Rightarrow y^2-y-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-2\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Với \(x^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\Rightarrow y^2+2y-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\\x=-2\Rightarrow y^2-2y-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy ...(loại mấy TH x,y<0 ra)