Cho a,b,c∈Z biết \(a+b+c⋮12\)
CMR: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc⋮12\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
NA
1
CC
0
NA
1
14 tháng 10 2018
\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left[a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right]=0\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)+5ab\left(-c\right)\left[2a^2+2ab+2b^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-5abc\left[\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-5abc\left[a^2+b^2+c^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Chúc bạn học tốt.
17 tháng 10 2021
Ta có \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Để tổng trên chia hết cho 81 thì \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)
Mà \(a+b+c=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Bài toán trở thành: Cho \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\). CMR: \(x+y+z⋮27\) - Hoc24
PT
6 tháng 8 2017
Ta có:
\(\dfrac{a.\left(x+z\right)}{abc}=\dfrac{b.\left(z+x\right)}{abc}=\dfrac{c.\left(x+y\right)}{abc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{z+x-\left(y+z\right)}{ac-bc}=\dfrac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\left(1\right)\)
\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{y+z-\left(x+y\right)}{bc-ab}=\dfrac{z-x}{b.\left(c-a\right)}\left(2\right)\)
\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{x+y-\left(z+x\right)}{ab-ac}=\dfrac{y-z}{a.\left(b-c\right)}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra:
\(\dfrac{y-z}{a.\left(b-c\right)}=\dfrac{z-x}{b.\left(c-a\right)}=\dfrac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc\\ =\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(c+a\right)-5abc\\ =ab\left(a+b\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc+ac\left(c+a\right)+abc-abc-5abc\\ =ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-6abc\\ =\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-6abc\)
Vì \(a+b+c⋮12\) nên \(a+b+c\) chẵn
Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 3 số a,b,c chẵn
\(\Rightarrow6abc⋮6\cdot2=12\)
Mà \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮12\left(a+b+c⋮12\right)\)
Vậy ta được đpcm