Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)
Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)
=> HB = HC = HD
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Diện tích xung quanh hình trụ là:
\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)
Thể tích khối trụ là:
\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Thể tích của khối trụ là;
Đáp án C
Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:
Từ đó ta có:
Vậy đáp án C đúng.
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)
Với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) (như trong hình vẽ)
Do hình chóp đã cho là hình chóp đều, nên H là trọng tâm của tam giác BCD, do đó :
\(\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
Suy ra \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
Vậy : \(\overrightarrow{OB}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{5b}-\overrightarrow{c}\right)\) Và \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)
Từ đó :
\(36.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=\left(-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)
\(=\overrightarrow{a^2}^{ }+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }+25\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c^2}\)
\(=\overrightarrow{a^2}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+26\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }-5\overrightarrow{c^2}\)
\(=a^2-2a^2+13a^2-2a^2-10a^2=0\)
Suy ra \(OB\perp OC\)
Chứng minh tương tự ta cũng được \(OC\perp OD,OD\perp OB\)
a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
AI ⊥ BC
+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
DI ⊥ BC
+) Ta có:
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có
góc ABH=góc BDC
=>ΔAHB đồng dạng với ΔBCD
b: BD=căn 9^2+12^2=15cm
AH=9*12/15=108/15=7,2cm
c: Xét ΔHAD có HN/HA=HP/HD
nên NP//AD và NP=AD/2
=>NP//BC và NP=BC/2
=>NP//BM và NP=BM
=>BNPM là hình bình hành
Đáp án A
Bán kính đáy của hình nón bằng bán kính ngoại tiếp đáy
Chiều cao nón bằng chiều cao của tứ diện
Vậy
Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)
Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:
AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).
AH chung
=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)
Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD
Gọi M là trung điểm CD. Ta có;
+ xét tam giác AHB vuông tại H có: