Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 – 7mx2 + 2(m2 + 6m)x – 64 = 0.
A. m = 8
B. m = 0
C. m = -1hoặc m = 7
D. m = 0 hoặc m = 8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn D
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có x 1 . x 2 . x 3 = 8
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x 1 x 3 = x 2 2 . Suy ra ta có x 2 3 = 8 ⇔ x 2 = 2.
Với nghiệm x=2, ta có m 2 + 6 m − 7 = 0 ⇔ m = 1 m = − 7
+ Điều kiện đủ: Với m= 1 hoặc m = -7 thì m 2 + 6 m = 7 nên ta có phương trình: x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0.
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4 Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q=2
Vậy m= 1 và m= -7 là các giá trị cần tìm.
Chọn D.
Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng.
Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x1 + x2 + x3 = 3 (1)
Vì x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2x2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1.
Thay x2 = 1 vào phương trình đã cho, ta được
1 - 3.1 - 9.1 + m = 0 suy ra m = 11
- Điều kiện đủ:
+ Với m = 11 thì ta có phương trình x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0 ⇔
Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên m = 11 là giá trị cần tìm.
Theo hệ thức Viet: \(x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}=3\)
Do 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3=3x_2\)
\(\Rightarrow3x_2=3\Rightarrow x_2=1\)
Thế vào pt ban đầu:
\(\Rightarrow1-3+m+2m-1=0\Rightarrow m=1\)
Đáp án B
Ta có:
x 3 − 3 x 2 + m x + 2 − m = 0 ⇔ x − 1 x 2 − 2 x + m − 2 = 0 ⇔ x = 1 x 2 − 2 x + m − 2 = 0 2
(2) có 2 nghiệm nếu = 1 − m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .
Khi đó 2 nghiệm là:
x 1 = 1 + 3 − m ; x 2 = 1 − 3 − m
Ta thấy 3 giá trị 1 + 3 − m ; 1 ; 1 − 3 − m theo thứ tự luôn lập thành một cấp số cộng.
Vậy m ≤ 3
Chọn B.
Xét hàm số f(x) = x 3 - 3 x 2 + x - m ,
Điểm uốn của đồ thị hàm số là A (1;-1-m).
Phương trình x 3 - 3 x 2 + x - m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Đáp án C
P T ⇔ − x 3 + 3 x = 4 m − 6.
Suy ra PT là PT hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 m − 6 và đồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x .
PT có 3 nghiệm phân biệt <=> đồ thị có 3giao điểm.
Ta có đồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x như hình bên. 2 đồ thị có 3 giao điểm
⇔ − 2 > 4 m − 6 < 2 ⇔ 1 < m < 2.
Chọn A.
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có x1.x2.x3 = 64
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x1x3 = x22. Suy ra ta có x23 = 64 ⇔ x2 = 4
Thay x = 4 vào phương trình đã cho ta được: 43 – 7m.42 + 2(m2 + 6m).4 – 64 = 0
⇔ m2 – 8m = 0
+ Điều kiện đủ: Với m = 0 thay vào phương trình đã cho ta được: x3 – 64 = 0 hay x = 4
(nghiệm kép-loại)
Với m = 8 thay vào phương trình đã cho nên ta có phương trình x3 – 56x2 + 224x – 64 = 0
Giải phương trình này, ta được 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.