cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD,BE,CF. M,N,P,Q,K ,I lần lượt là chung điểm của các đoạn thẳng BC,AC,AB,EF,ED,FD chứng minh rằngba đường thẳng MQ,NI,PK đồng qui.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vẽ thêm cái vòng cung cho chất :V bài này khoảng ngày mai , kia rồi mình làm cho
hình gửi trong tin nhắn
\(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) có \(MF\) là đường trung tuyến \(\Rightarrow\)\(MF=\frac{1}{2}BC\)
\(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) có \(ME\) là đường trung tuyến \(\Rightarrow\)\(ME=\frac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow\)\(MF=ME\)\(\Rightarrow\)\(\Delta MEF\) cân tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\)\(MI\perp EF\)
tương tự, ta cũng có : \(NQ\perp DF\)\(;\)\(PK\perp ED\)
\(\Delta DEF\) có \(MI,NQ,PK\) là 3 đường trung trực \(\Rightarrow\)\(MI,NQ,PK\) đồng quy
Vì FI vuông góc với AC, BE vuông góc với AC nên FI song song với EQ
suy ra\(\frac{AI}{IE}=\frac{AF}{FB}\)(1)
Vì FJ vuông góc với AD, BC vuông góc với AD nên JI song song với BC
suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{AJ}{JD}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AI}{IE}=\frac{AJ}{JD}\)suy ra IJ song song với ED (a)
VÌ IF vuông góc với AC, FQ vuông góc với AC nên IF song song với FQ
suy ra\(\frac{IE}{EC}=\frac{FH}{HC}\) (3)
VÌ FK vuông góc với BC,AD vuông góc với BC nên FK song song với AD
suy ra \(\frac{KD}{KC}=\frac{KH}{HC}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{IE}{EC}=\frac{KD}{KC}\)suy ra IK song song với ED (b)
Vì FK song song với AD(cmt) nên\(\frac{AF}{FB}=\frac{KD}{BK}\)(5)
Vì FQ vuông góc với EB,AC vuông góc với EB nên FQ song song với EI
suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{QE}{BQ}\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{BQ}{QE}=\frac{BK}{KD}\) suy ra QK song song với ED (c)
Từ (a), (b) và (c) suy ra I,J,Q,K thẳng hàng