Cho a,b,c > 0. a+b+c=3. CMR: a/(1+b^2) + b/(1+c^2) + c/(1+a^2) > hoặc = 3/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
E
1
VT
25 tháng 10 2019
Thay 1=\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)vào va rút gọn ta được
VT= \(\frac{4}{3}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\)(1)
Áp dụng \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\left(bunhiacopxky\right)\) ta được
(1) \(\ge\frac{4}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right).\)
Dấu'=' khi a=b=c
NT
2
29 tháng 8 2018
Theo giả thiết: \(a+b+c=3\Rightarrow b+c=3-a\). Tương tự: a+b=3-a và c+a=3-b
Khi đó \(\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}=\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\frac{1}{a^2-a+3}\le\frac{4-a}{9}\)(1)
Thật vậy, BĐT (1) \(\Leftrightarrow9\le\left(4-a\right)\left(a^2-a+3\right)\)
\(\Leftrightarrow9\le-a^3+5a^2-7a+12\)\(\Leftrightarrow-a^3+5a^2-7a+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^3+a^2+4a^2-4a-3a+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^2\left(a-1\right)+4a\left(a-1\right)-3\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+4a-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+a+3a-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[-a\left(a-1\right)+3\left(a-1\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)(2)
Ta thấy \(a;b;c>0\) và \(a+b+c=3\Rightarrow a< 3\)\(\Rightarrow3-a>0\)
Mà \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\). Nên \(\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)
Do đó: BĐT (2) luôn đúng với mọi 0<a<3 => BĐT (1) cũng đúng
Chứng minh tương tự \(\frac{1}{b^2-b+3}\le\frac{4-b}{9};\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{4-c}{9}\)
Từ đó suy ra:
\(\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{12-\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{12-3}{9}=1\)(Do a+b+c=3)
=> ĐPCM.
29 tháng 12 2018
Cho x,y,z € Z+ tm: x+y+z=4
Tính A= \(\sqrt{ }\)x(4-y)(4-z) +\(\sqrt{ }\)y(4-x)(4-x) +\(\sqrt{ }\)z(4-x)(4-y) -\(\sqrt{ }\)xyz
HK
0
ta co: a/(1+b²)=(a+ba²-ab²)/(1+b²)=(a(1+b²)-a...
Tuong tu: b/(1+c²)>=b-bc/2; c/(1+a²)>=c-ac/2.
=> a/(1+b²)+b/(1+c²)+c/(1+a²)>=a+b+c-1/2(ab...
Ma: 3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)²=9=> ab+bc+ca <=3
=>-1/2(ab+bc+ca)>=-3/2
=> a+b+c-1/2(ab+bc+ca) >=3-3/2=3/2
=> a/(1+b²)+b/(1+c²)+c/(1+a²)>= 3/2(dpcm)
Dau "=" say ra <=> a=b=c=1