Cho các số dương x,y thỏa mãn: x + y = 2.Tìm GTNN của biểu thức \(P=x^3+y^3+\frac{6}{x^2+y^2}+3xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TT
0
Những câu hỏi liên quan
TT
0
S
10 tháng 6 2019
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
10 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
10 tháng 2 2019
1. Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với \(a=x^3+3xy^2,b=y^3+3x^2y\) (a;b > 0)
(Bất đẳng thức này a;b > 0 mới dùng được)
\(A\ge\frac{4}{x^3+3xy^2+y^3+3x^2y}=\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\ge\frac{4}{1^3}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^3+3xy^2=y^3+3x^2y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=0\\x+y=1\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^3=0\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2023
Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)
Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
NK
1
21 tháng 8 2015
Theo giả thiết \(x+y\le3\to xy+\left(y+4\right)\le y\left(3-y\right)+y+4=-\left(y-2\right)^2+8\le8.\)
Do đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz \(\frac{1}{xy}+\frac{9}{y+4}\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{xy+y+4}\ge\frac{16}{8}=2.\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{2}{3}\) ta suy ra \(\frac{2}{3xy}+\frac{6}{y+4}\ge\frac{4}{3}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(y=2,x=1.\) Vậy giá trị bé nhất của \(P\) là \(\frac{4}{3}\).
5 tháng 12 2019
Có cách khác nè:
P=x4(x−1)3+y4(y−1)3≥2√x4y4(x−1)3(y−1)3x4(x−1)3+y4(y−1)3≥2x4y4(x−1)3(y−1)3
⇒P≥2x2y2√(x−1)3(y−1)3=2.x2x−1.y2y−1.1√(x−1)(y−1)⇒P≥2x2y2(x−1)3(y−1)3=2.x2x−1.y2y−1.1(x−1)(y−1)
Ta dễ dàng chứng minh được a2a−1≥4a2a−1≥4
⇒P≥2.4.4.1√(x−1)(y−1)≥32.1x−1+y−12≥32⇒P≥2.4.4.1(x−1)(y−1)≥32.1x−1+y−12≥32
Dấu "=" khi x=y=2
5 tháng 12 2019
x4(x−1)3+16(x−1)≥8.x2(x−1)x4(x−1)3+16(x−1)≥8.x2(x−1)
Tương tự và cộng hai BĐT lại :
p+16(x−1)+16(y−1)≥8.(x2x−1+y2y−1)p+16(x−1)+16(y−1)≥8.(x2x−1+y2y−1)
Ta xét A=x2x−1+y2y−1A=x2x−1+y2y−1
Đặt x - 1 = a và y - 1 = b, ta có A=(a+1)2a+(b+1)2b=a+2+1a+b+2+1b≥(a+b)+4a+b+4≥2√4+4=8⇒A≥8A=(a+1)2a+(b+1)2b=a+2+1a+b+2+1b≥(a+b)+4a+b+4≥24+4=8⇒A≥8
Do đó P≥8A−16(x+y)+32≥8.8−16.4+32=32P≥8A−16(x+y)+32≥8.8−16.4+32=32
Min P = 32 <=> x = y = 2
28 tháng 1 2021
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
21 tháng 2 2019
Dự đoán dấu "=" khi x = 2 ; y= 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số và bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\) ta được
\(P=2x^2+y^2+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{7x^2}{4}+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{7x^2.14.14}{4.x^2}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2.1.1}{2.2y.2y}}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4+2}\)
\(=3.\sqrt[3]{\frac{7.14.14}{4}}+\frac{3}{\sqrt[3]{2^3}}+\frac{3^2}{6}=24\)
Dấu "=" khi x = 2 ; y = 1
T
21 tháng 2 2019
Bài toán easy!
\(P=\left(2x^2+8\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(P\ge8x+2y+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
\(=\left(7x+\frac{28}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge2\sqrt{7x.\frac{28}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge28+2+3-9=24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x^2=8\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)