Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng; \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{2ca}}\ge3.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
HF
20 tháng 10 2019
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
$a^3+a\geq 2a^2$
$b^3+b\geq 2b^2$
$c^3+c\geq 2c^2$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$
Lại có:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$
$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.
PV
1
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
8 tháng 1 2022
Từ a+b+c=0 => b+c=-a
Theo đề ra ta có a3 + b3 + c3 = 0
=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0
<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0
<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0
<=> a3 - a3 +3bc = 0
<=> 3bc= 0
<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm)
cho mik điểm nha bạn ơiii
DN
0
NM
2
V
29 tháng 10 2017
Giả thiết ngứa mắt vc , let's biến đổi chút
\(GT\Leftrightarrow\frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\). Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b};\frac{1-c}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
thì \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
nên bài toán đã cho trở thành \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\left(xyz=1\right)\)
để ý rằng \(VT\ge\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(y^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(z^2+1\right)}\)
nên chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\left(xyz=1\right)\)
22 tháng 7 2018
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(a^3+b^3+c^3=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c^3=0\)
\(\Rightarrow-c.\left(a^2+2ab+b^2-3ab\right)+c^3=0\)
\(\Rightarrow-c\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]+c^3=0\)
\(\Rightarrow-c\left(c^2-3ab\right)+c^3=0\)
\(\Rightarrow-c^3+3abc+c^3=0\Rightarrow3abc=0\Rightarrow abc=0\)
\(\Rightarrow\)\(a=0\) hoặc \(b=0\) hoặc \(c=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
KH
0
Áp dụng bđt: 2xy \(\le\)(x + y)2/2
khi đó, ta có: \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}\ge\sqrt{\frac{a+b}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a+b}{2}}}\ge\frac{1}{\frac{\frac{a+b}{2}+1}{2}}=\frac{4}{a+b+2}\)
CMTT: \(\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}\ge\frac{4}{b+c+2}\)
\(\sqrt{\frac{c+a}{2ca}}\ge\frac{4}{c+a+2}\)
=>Đặt A = \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{2ac}}\ge\frac{4}{a+b+2}+\frac{4}{b+c+2}+\frac{4}{a+c+2}\)
Áp dụng bđt svacso : \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
ta có:
\(A\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a+b+2+b+c+2+a+c+2}=\frac{36}{2\left(a+b+c\right)+6}=\frac{36}{12}=3\)
=> Đpcm