Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng; \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{2ca}}\ge3.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
V
29 tháng 10 2017
Giả thiết ngứa mắt vc , let's biến đổi chút
\(GT\Leftrightarrow\frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\). Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b};\frac{1-c}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
thì \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
nên bài toán đã cho trở thành \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\left(xyz=1\right)\)
để ý rằng \(VT\ge\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(y^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(z^2+1\right)}\)
nên chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\left(xyz=1\right)\)
11 tháng 2 2020
Đề đúng: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c>0; ab+bc+ac>0; abc>0. Chứng minh a,b,c>0
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhau nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0
\(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)
\(\Rightarrow b^2+bc+c^2< -\left(ab+bc+ca\right)\)(vô lí)
TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
TT
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 và a+b+c > 1/a + 1/b + 1/. chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1) > 0
0
6 tháng 3 2019
Đặt \(P=\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{a^2}{a^2+2bca}+\frac{b^2}{b^2+2cab}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\)( \(a+b+c=3\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có: \(a+b+c=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2\ge a^3b^3c^3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3.\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{9}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đpcm
Áp dụng bđt: 2xy \(\le\)(x + y)2/2
khi đó, ta có: \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}\ge\sqrt{\frac{a+b}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a+b}{2}}}\ge\frac{1}{\frac{\frac{a+b}{2}+1}{2}}=\frac{4}{a+b+2}\)
CMTT: \(\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}\ge\frac{4}{b+c+2}\)
\(\sqrt{\frac{c+a}{2ca}}\ge\frac{4}{c+a+2}\)
=>Đặt A = \(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{2ac}}\ge\frac{4}{a+b+2}+\frac{4}{b+c+2}+\frac{4}{a+c+2}\)
Áp dụng bđt svacso : \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
ta có:
\(A\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a+b+2+b+c+2+a+c+2}=\frac{36}{2\left(a+b+c\right)+6}=\frac{36}{12}=3\)
=> Đpcm