Cho biết a, b, c là các cạch của tam giác.
Chứng minh rằng : a2 - b2 - c2 + 2bc > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 12 2021
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)
CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)
Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
PT
1
CM
20 tháng 8 2017
Ta có: a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c ⇒ b 2 + c 2 − a 2 = − 2 b c
Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2. b c = − 2 b c 2 b c = − 2 2 ⇒ A ^ = 135 °
Chọn A
Q
1
T
1
11 tháng 1 2022
Ta có a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0
+) Nếu a2+b2+c2=2a2+b2+c2=2 thì ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1
⇔a2b2+b2c2+c2a2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2=1
Ta có : (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4
⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2
+ Nếu a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 làm tương tự
Ta có: \(a^2-b^2-c^2+2bc=a^2-\left(b^2+c^2-2bc\right)\)
\(=a^2-\left(b-c\right)^2=\left[a-\left(b-c\right)\right].\left[a+\left(b-c\right)\right]\)
\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vì a, b , c là các cạnh của tam giác
\(\Rightarrow a+c>b\)\(\Rightarrow a+c-b>0\)
\(a+b>c\)\(\Rightarrow a+b-c>0\)
\(\Rightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)>0\)
hay \(a^2-b^2-c^2+2bc>0\)( đpcm )
\(a^2-b^2-c^2+2bc=\)\(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\)\(=a^2-\left(b-c\right)^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(1\right)\)
Ta có theo bất đẳng thức tam giác thì: độ dài 1 cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng 2 cạnh còn lại
\(a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\left(2\right)\)
\(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\left(3\right)\)
Từ (1) (2) (3) => \(\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)>0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2+2bc>0\)