Cho \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)
CMR\(\orbr{\begin{cases}x=y=z\\xyz=\pm1\end{cases}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
21 tháng 7 2020
đây là bài bất IMO 2008
Đặt \(a=\frac{x}{x-1};b=\frac{y}{y-1};c=\frac{z}{z-1}\)từ đó giả thiết trở thành
\(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)Suy ra được : \(a+b+c-ab-bc-ca=1\)
Bài toán bây giờ trở thành chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c-ab-bc-ca\right)-1\)
\(< =>\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
5 tháng 1 2019
Bài làm
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=1\frac{1}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=1\frac{1}{12}\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x+z}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{3}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\zx=3\end{cases}}\)
~ Đến đây bạn làm nốt nhé, tại mình có việc. Xin lỗi ~
# Chúc bạn học tốt #
HN
5 tháng 1 2019
\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=1\frac{1}{15}\\\frac{xyz}{x+z}=1\frac{1}{12}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{15}{16}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{12}{13}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}=\frac{15}{16}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{12}{13}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=16\\zx=13\end{cases}}\)
Phần còn lại bn tự làm nhé!
4 tháng 12 2018
\(\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{z+x}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\zx=3\end{cases}}\)
Làm nốt
4 tháng 2 2017
Bài b nhé bạn!
\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}}{2}=1\)
Trừ lại từng phương trình trong hệ:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{yz}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{xz}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\xz=3\end{cases}\Rightarrow xyz=\sqrt{2.6.3}=6}\)
Chia lại từng phương trình trong hệ mới, được:
\(\hept{\begin{cases}z=3\\x=1\\y=2\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)
Xong rồi đó!!!
5 tháng 11 2018
Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow3.\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)(1)
Lại có: \(x+y+z=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=9\)
Mà: \(x^2+y^2+z^2=17\)
\(\Rightarrow17+2xy+2yz+2xz=9\)
\(\Rightarrow2xy+2yz+2xz=-8\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=-4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
\(3.\left(-4\right)=xyz\)
\(xyz=-12\)
Vậy \(xyz=-12\)
Tham khảo nhé~
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2yz+xz=xy^2z+xy=xyz^2+yz\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xyz\left(x-y\right)=x\left(y-z\right)\\xyz\left(y-z\right)=y\left(z-x\right)\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xyz\left(x-y\right)=x\left(y-z\right)\\xyz\left(y-z\right)=y\left(z-x\right)\\xyz\left(z-x\right)=z\left(y-x\right)\end{cases}}\Leftrightarrow x^3y^3z^3.\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=-xyz.\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^3y^3z^3=-xyz\\\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=\pm1\\x=y=z\end{cases}}}\)