Question

[Ender Ngáo]

 Tìm GTLN của A=-2x²+6x+9

help!!! đang vội

Answer 1

[Trần Công Mạnh]

Giải

Ta có: \(A=-2x^2+6x+9\left(x\inℝ\right)\)

\(\Rightarrow A=-2x^2+\left(-2\right).\left(-3x\right)+\left(-2\right).\left(-\frac{9}{2}\right)\)(Biến đổi tất cả các hạng tử sao cho có nhân tử chung là -2)

\(\Rightarrow A=-2\left(x^2-3x-\frac{9}{2}\right)\)(Rút nhân tử chung)

\(\Rightarrow A=-2\left[x^2-2.\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\)(Tách 9/2 thành (3/2)^2 - 27/4. Dễ thấy có hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow A=-2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\)

(Cho -27/4 ra ngoài, còn lại ta sử dụng hẳng đẳng thức \(A^2-2AB+B^2=\left(A-B\right)^2\))

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)với mọi x (bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0)

Nên \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\ge-\frac{27}{4}\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\le\frac{27}{4}\)(Nhân thêm -1 cả hai vế thì dấu lớn hơn hoặc bằng phải đổi thành bé hơn hoặc bằng)

\(\Rightarrow-2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\le\frac{27}{2}\)(Nhân thêm 2 vào cả hai vế)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\)(Ở đây nhỏ hơn hoặc bằng thì khi bằng nó sẽ là giá trị lớn nhất)

\(\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{27}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)