Question

[Phạm Linh Giang]

Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao AM,BN,CQ cắt nhau tại H , từ B và C lần lượt kẻ các đường
vuông góc với AB và AC chúng cắt nhau tại E.
a) Chứng tứ giác BHCE là hình bình hành
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm H,D,E thẳng hàng
c) Gọi K là trung điểm của AE . Chứng minh : DK =1/2 AH
d) Chứng minh : AE vuông góc QN

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

\(CH\perp AB;BE\perp AB\) => CH//BE

\(BH\perp AC;CE\perp AC\)=> BH//CE

=> BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

b/

Nối H với E cắt BC tại D' => D'B=D'C ( Trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> D' là trung điểm của BC mà D cũng là trung điểm BC nên \(D\equiv D'\) => H, D, E thẳng hàng

c/

Xét tg AHE có

KA=KE (giả thiết)

DH=DE (Trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> DK là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow DK=\frac{1}{2}AH\)

d/

Ta có 

Q và N đều nhìn BC dưới 1 góc vuông => Q và N thuộc đường tròn đường kính BC => BQNC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{QNB}=\widehat{QCB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) (1)

B và C đều nhìn AE dưới 1 góc vuông => B và C thuộc đường tròn đường kính AE => ABEC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{EBC}\)(Góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (2)

\(\widehat{QCB}=\widehat{EBC}\) (góc so le trong) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{QNB}=\widehat{EAC}\)

Mà \(\widehat{QNB}+\widehat{ANI}=90^o\Rightarrow\widehat{EAC}+\widehat{ANI}=90^o\)

Xét tg ANI có

\(\widehat{AIN}=180^o-\left(\widehat{EAC}+ANI\right)=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow AE\perp QN\)