Với \(a+b+c\ge1\) a, b, c >0
CMR: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2bc}\ge9\)
Làm cách trâu bò nhất hộ em ạ, em đang tập làm Co si thoi, chỉ làm được mấy cách cơ bản thoi ạ, mong mấy pro giúp em~
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2020
Hay thoi chứ để là \(a+b+c\le1\) đy, vì thấy ai cũng bảo đề sai nên sửa đề là vậy đi ạ '-'. Còn nếu pro nào là làm được cái đề gốc kia thì xin giải hộ em ạ T.T
13 tháng 10 2020
Thầy tao làm như nào tao chép lại y nguyên nhá :)
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1/3
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+9\left(a^2+2bc\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot9\left(a^2+2bc\right)}=6\)
TT : \(\frac{1}{b^2+2ac}+9\left(b^2+2ac\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+2ac}\cdot9\left(b^2+2ac\right)}=6\)
\(\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(c^2+2ab\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+2ab}\cdot9\left(c^2+2ab\right)}=6\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a+b+c\right)^2\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
13 tháng 10 2020
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
- Bộ số a/b, 1 ta được :
\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
- Bộ số b/c, 1
\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
- Bộ số c/a, 1
\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
KC
4
TA
13 tháng 10 2020
ĐK:\(a+b+c\le1|a,b,c>0\)
Chỉ có TH \(a=b=c=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow TH:a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2\left(\frac{1}{3}\right)^2}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(2+1\right)}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}}3\ge9\)\(=\frac{3}{\frac{1}{3}}\ge9\)\(=3:1:3\ge9\)\(=1\ge9\)( loại )
Vậy không thể CMR \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ba}\ge9\).
DP
1
12 tháng 7 2016
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) với \(x=a^2+2bc;y=b^2+2ac;z=c^2+2ab\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( Vì a + b + c = 1)
DN
6
S
9 tháng 6 2019
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(đpcm\right)\)
HP
10 tháng 7 2016
a,b,c khác nhau đôi một nghĩa là từng cặp số khác nhau ,là:
+a khác b
+b khác c
+c khác a
\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0\)
Suy ra: \(ab==-\left(bc+ac\right)=-bc-ac\)
\(bc=-\left(ab+ac\right)=-ab-ac\)
\(ac=-\left(ab+bc\right)=-ab-bc\)
Nên \(a^2+2ab=a^2+bc+bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự,ta cũng có: \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Vậy \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
TM
7 tháng 4 2017
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=1
16 tháng 10 2020
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
HV
1
24 tháng 5 2020
Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức:
VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\) = 1
Chắc chắn giả thiết phải là \(a+b+c\le1\).
Áp dụng BĐT Schwars ta có \(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\).
Còn nếu \(a+b+c\ge1\) thì cho a = b = c = 10000 chẳng hạn sẽ sai.
Với x, y, z > 0 ta có BĐT:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\).
BĐT trên dễ dàng dc cm nhờ BĐT Côsi
Thật vậy, theo BĐT C-S thì:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\).
Nhân vế với vế ta có:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (đpcm).