Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x+1) + y(y+1) + z(z+1) \(\le18\)
Tìm GTNN: \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 7 2020
x(x+1)+y(y+1)+z(z+1) \(\le18\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)\le18\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow54\ge\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow-9\le x+y+z\le6\)
\(\Rightarrow0\le x+y+z\le6\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+1}+\frac{x+y+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{y+z+1}+\frac{y+z+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{z+x+1}+\frac{z+x+1}{25}\ge\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow B+\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{25}\ge\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{27}{25}-\frac{2}{25}\left(x+y+z\right)\ge\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0;x+y+z=6\\\left(x+y+1\right)^2=\left(y+z+1\right)^2=\left(z+x+1\right)^2=25\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=2}\)
vậy giá trị nhỏ nhất cho B=3/5 khi x=y=z=2
27 tháng 7 2020
Hai Ngox Xem laị từ dòng thứ 2 và dòng thứ 3 xuống dưới. Nhiều lỗi quá!
T
9 tháng 2 2019
Ta có: \(\frac{x+1}{y^2+1}=\left(x+1\right).\frac{1}{y^2+1}=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)
\(=6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\) (*)
Lại có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thay vào (*),ta có: \(P\ge6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
12 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:
\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Vậy..................
5 tháng 11 2019
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)
\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)
\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)
Có BĐT phụ sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
27 tháng 3 2020
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
\(18\ge x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-54\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+9\right)\left(x+y+z-6\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-6\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le6\)
Do đó:
\(P\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}\ge\frac{9}{2.6+3}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)