Question

[Niii]

Bài 1: a Tìm các giá trị nguyên dương (x;y) của pt \(x^2+x+13=y^2\) b cho 3 số nguyên dương a,b,c thảo mãn a>1 và \(2^a=b^c+1\) chứng minh c=1

Bài 2 : a giai pt sau \(\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4\) b giải hệ pt sau : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y\left(x+y\right)+1=0\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)

Bài 3 : cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c =3 CMR \(\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\ge\frac{3}{4}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(x^2+x+13=y^2\Leftrightarrow4x^2+4x+52=4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+51=\left(2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=51\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=51\)

\(\Leftrightarrow...\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+16x+18}=a\\\sqrt{x^2-1}=b\\2x+4=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a^2+2b^2=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\2b^2=\left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2b^2=b\left(c+a\right)\Leftrightarrow b\left(c+a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=...\\c+a=2b\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (1) với pt ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c+a=2\left(c-a\right)\Rightarrow c=3a\)

\(\Rightarrow3\sqrt{2x^2+16x+18}=2x+4\left(x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(2x^2+16x+18\right)=\left(2x+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\left(x+y\right)\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+y=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(ktm\right)\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=1-x\)

Thế vào pt đầu:

\(x^2-\left(1-x\right)+1=0\Leftrightarrow...\)