Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài BC = a, CA= b, AB= c. Tìm GTNN của
\(M=8a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{b+c}{a}+2019\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
27 tháng 5 2020
Bài 2:b) \(9=\left(\frac{1}{a^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{b^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{c^3}+1+1\right)\)
\(\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Ta sẽ chứng minh \(P\le\frac{1}{48}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Ai có cách hay?
T
27 tháng 5 2020
1/Đặt a=1/x,b=1/y,c=1/z ->x+y+z=1.
2a) \(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^4b^4}\right]}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^3b^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left(ab\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]^3}=\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)
VT
27 tháng 12 2017
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...
\(GT\Rightarrow a^2=b^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(b+c\right)^2\Rightarrow\frac{a}{b+c}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(M=8a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{b+c}{a}+2019\ge4a^2\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\frac{b+c}{a}+2019\)
\(M\ge4a^2\left(\frac{4}{b+c}\right)^2+\frac{b+c}{a}+2019=16\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\frac{b+c}{a}+2019\)
Đặt \(\frac{a}{b+c}=x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge16x^2+\frac{1}{x}+2019=\sqrt{2}x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\left(16-\sqrt{2}\right)x^2+2019\)
\(\Rightarrow M\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}x^2}{4x^2}}+\left(16-\sqrt{2}\right).\frac{1}{2}+2019=2027+\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}\)