Chứng minh rằng:
x2-xy+y2+1>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(VT=\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\left(y^2+\dfrac{z^2}{4}+4-yz-4y+2z\right)+\dfrac{3}{4}\left(z^2-\dfrac{8z}{3}+\dfrac{16}{9}\right)-\dfrac{91}{12}\)
\(VT=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{z}{2}-2\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(z-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{91}{12}\ge-\dfrac{91}{12}>-7\)
29 tháng 12 2020
Đề bài bảo cm \(\ge\) -7 chứ đâu phải > -7 đâu Nguyễn Việt Lâm?
SN
1
TD
2
4 tháng 3 2018
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le2\) biết \(^{x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0}\) và xy>0
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
17 tháng 3 2023
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) ⇒ \(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x^2}{a^2}\) = \(\dfrac{y^2}{b^2}\) = \(\dfrac{z^2}{c^2}\) = \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\) = \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}\) = \(x^2+y^2+z^2\) (1)
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\) = \(\dfrac{x+y+z}{1}\) = \(x+y+z\)
\(\dfrac{x}{a}\) = \(x+y+z\) ⇒ \(\dfrac{x^2}{a^2}\) = (\(x+y+z\))2 (2)
Từ (1) và (2) ta có :
\(\dfrac{x^2}{a^2}\) = \(x^2\) + y2 + z2 = ( \(x+y+z\))2 (đpcm)
17 tháng 3 2023
ax=by=cz ⇒ �2�2=�2�2=�2�2a2x2=b2y2=c2z2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
�2�2a2x2 = �2�2b2y2 = �2�2c2z2 = �2+�2+�2�2+�2+�2a2+b2+c2x2+y2+z2 = �2+�2+�211x2+y2+z2 = �2+�2+�2x2+y2+z2 (1)
��=��=��ax=by=cz Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
��=��=��=�+�+��+�+�ax=by=cz=a+b+cx+y+z = �+�+�11x+y+z = �+�+�x+y+z
��ax = �+�+�x+y+z ⇒ �2�2a2x2 = (�+�+�x+y+z)2 (2)
Từ (1) và (2) ta có :
�2�2a2x2 = �2x2 + y2 + z2 = ( �+�+�x+y+z)2 (đpCm)
17 tháng 2 2019
Nhân hai vế của đẳng thức với 2 :
2x^2 + 2y^2 - 2xy = (x^2 - 2xy + y^2)+y^2 + x^2 = (x - y)^2 + x^2 + y^2 >= 0
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0
17 tháng 2 2019
Cả hai vế của đẳng thức nhân 2
2x2 + 2y2 - 2xy = ( x2 - 2xy + y2 ) + y2 + x2 = ( x - y )2 + x2 + y2 \(\ge\)0
Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 0
k cho mình nha mọi người
CM
7 tháng 10 2018
x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
MV
0
7 tháng 6 2020
a) x<y
<=> x.x<x.y
<=> x\(^2\)<xy
x<y
<=> x.y<y.y
<=>xy<y\(^2\)
b) áp dụng kết quả từ câu a và tính chất bắc cầu, ta có:
x\(^2\)<xy<y\(^2\)
<=> x\(^2\)<y\(^2\)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).y<y\(^2\).y
<=> x\(^2\)y<y\(^3\)(1)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).x<y\(^2\).x
<=> x\(^3\)<xy\(^2\)(2)
x<y
<=> x.xy<y.xy
<=> x\(^2\)y<xy\(^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
x\(^3\)<y\(^3\)
\(x^2-xy+y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+\frac{1}{4}y^2\right)+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left[x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}y\right)^2\right]+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)( đúng với ∀ x, y ∈ R )
=> đpcm