\(\text{Cho x+y+z=3.Tìm GTLN của B=xy+yz+xz }\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NS
0
W
0
MD
1
16 tháng 7 2021
\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)
\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)
tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
KN
11 tháng 10 2020
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)
Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1
Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1
Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
11 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)
\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)
=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z
NT
2
3 tháng 11 2016
1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
31 tháng 10 2016
a)
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
b)
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
TV
1
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 12 2020
\(xy+yz+zx\le\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)
Hay : \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1