Question

[Phạm Ngọc Gia Hân]

tìm x y thuộc z biết x² - 2xy + 2y² +2x-6y+4=0

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

x² - 2xy + 2y² + 2x - 6y + 4 = 0

<=> [ ( x² - 2xy + y² ) + 2( x - y ) + 1 ] + ( y² - 4y + 4 ) - 1 = 0

<=> [ ( x - y )² + 2( x - y ) + 1 ] + ( y - 2 )² - 1 = 0

<=> ( x - y + 1 )² + ( y - 2 )² - 1 = 0

<=> ( x - y + 1 )² + ( y - 2 )² = 1

Nhận thấy rằng VT là tổng của hai bình phương 

=> VP cũng phải là tổng của hai bình phương

Ta có : 1 = 1² + 0²

               = (-1)² + 0²

Ta xét 4 trường hợp sau :

1.\(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=1^2\\\left(y-2\right)^2=0^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}}\)

2. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=\left(-1\right)^2\\\left(y-2\right)^2=0^2\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)

3. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0^2\\\left(y-2\right)^2=1^2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

4. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0^2\\\left(y-2\right)^2=\left(-1\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Vậy ( x ; y ) = { ( 0 ; 2 ) , ( 2 ; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 0 ; 1 ) }

Answer 2

[Khánh Ngọc]

\(x^2-2xy+y^2+2x-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2-2y+2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)

Mà \(x;y\in Z\); \(\left(x-y+1\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0\)

pt <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=1\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-y=-1\\y=3\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}x-y=0\\y=2\end{cases}}\)

<=> x = 2 ; y = 3 hoặc x = y = 2 ( tm x ; y thuộc Z )

Vậy các cặp số x ; y thỏa mãn pt trên là : ( 2 ; 3 ) ; ( 2 ; 2 )