Cho a, b ,c là các số thực dương. CMR: (a+b)2+\(\frac{a+b}{2}\)\(\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 11 2016
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Từ đó ta có
\(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge4ab+\frac{a+b}{2}\)
Ta cần chứng minh
\(4ab+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow8ab+a+b-4a\sqrt{b}-4b\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4ab-4a\sqrt{b}+a\right)+\left(4ab-4b\sqrt{a}+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{a}\right)^2+\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow\)ĐPCM là đúng
HM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\((a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\)
\(=(a+b)[(a+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4}$
17 tháng 10 2019
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge3+2a.\frac{1}{\sqrt{bc}}+2b.\frac{1}{\sqrt{ac}}+2c.\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
Mà \(abc\le1\)
=> \(VT\ge3+2a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
T
6 tháng 8 2020
Kiểm tra lại đề đê. Với [ a = 1/10, b = 1/3, c = 1/10 ] thì đề sai.
DK
0
N
5 tháng 10 2019
Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)
Ta co:
\(\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tuong tu:
\(\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\frac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\frac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
1 tháng 1 2019
Câu b : Ta có :
\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\right]\)
Áp dụng BĐT Cô - Si ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a}\\b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=-\dfrac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
Đặt \(a=x^2;b=y^2\) với x;y dương
Ta cần chứng minh: \(\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge2x^2y+2xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2-2x^2y-2xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\frac{1}{2}x^2\left(4y^2-4y+1\right)+\frac{1}{2}y^2\left(4x^2-4x+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\frac{1}{2}x^2\left(2y-1\right)^2+\frac{1}{2}y^2\left(2x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\) hay \(a=b=\frac{1}{4}\)