Cho a,b,c >0 thỏa mãn\(\sqrt{a+2901}+\sqrt{b+2901}=2\sqrt{c+2901}\)
C/m a+b\(\ge\)2c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 1 2021
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\) với x, y, z > 0 thì ta có \(x+y+z=1\).
Đặt biểu thức ở VT là A. Ta có:
\(A=\sqrt{\dfrac{b^2+2a^2}{a^2b^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+2b^2}{b^2c^2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+2c^2}{c^2a^2}}=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\).
Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{a_3^2+a_4^2}\ge\sqrt{\left(a_1+a_3\right)^2+\left(a_2+a_4\right)^2}\).
Đây là bđt Mincopxki cho hai bộ số thực và dễ dàng cm bằng biến đổi tương đương.
Do đó \(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z\right)^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z+\sqrt{2}x\right)^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}=VP\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2021
Tương tự: \(GT\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
\(VT=\dfrac{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{b^2+b^2+c^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{c^2+a^2+a^2}}{ca}\)
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(a+a+b\right)^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+b+c\right)^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(c+c+a\right)^2}}{ca}\)
\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
15 tháng 4 2022
từ 1 đến 9 có 9 chữ số
từ 10 đến 99 có ( (99 - 10 ) : 1 + 1 ) x 2 = 180 chữ số.
từ 100 đến 999 có : ( ( 999 - 100 ) : 1 + 1 ) x 3 = 2700 chữ số
từ 1000 đến 1002 có : ( (1002 - 1000) : 1 + 1) X 4 = 12 chữ số
vậy từ 1 đến 1002 có số chữ số là 9 = 180 + 2700 + 12 = 2901 chữ số. kết luận chữ số thứ 2901 là chữ số 2
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
15 tháng 4 2022
từ 1 đến 9 có 9 chữ số
từ 10 đến 99 có ( ( 99 - 10 ) : 1 + 1 ) x 2 = 180 chữ số
từ 100 đến 999 có ( (999 - 100 ) : 1 + 1 ) x 3 = 2700 chữ số
từ 1000 đến 1002 có ( ( 1002 - 1000 ) : 1 + 1 ) x 4 = 12 chữ số
từ 1 đến 1002 có số chữ số là : 9 + 180 + 2700 + 12 = 2901 chữ số
kết luận chữ số thứ 2901 là chữ số 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
\(a+b+c=\sqrt{6063}\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2021}}+\dfrac{b}{\sqrt{2021}}+\dfrac{c}{\sqrt{2021}}=\sqrt{3}\)
Đặt \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{2021}};\dfrac{b}{\sqrt{2021}};\dfrac{c}{\sqrt{2021}}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{3}\)
\(P=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}+\dfrac{2y}{\sqrt{2y^2+1}}+\dfrac{2z}{\sqrt{2z^2+1}}\)
Ta có đánh giá:
\(\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\le\dfrac{3\sqrt{15}x+2\sqrt{5}}{25}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(9x^2+10\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{6\sqrt{15}\left(x+y+z\right)+12\sqrt{5}}{25}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)
26 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\sqrt{2a+b}=\sqrt{\left(2a+b\right).1}\le\dfrac{2a+b+1}{2}\)
CMTT: \(\sqrt{2b+c}\le\dfrac{2b+c+1}{2},\sqrt{2c+a}\le\dfrac{2c+a+1}{2}\)
\(\Rightarrow T=\sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a}\le\dfrac{2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1}{2}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
\(maxT=3\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a=1=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
30 tháng 5 2018
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\sqrt{a^2+b^2c^2}=\sqrt{a^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+b^2c^2}=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(a^2+bc\right)^2}=a^2+bc\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2+c^2a^2}\ge b^2+ca\)
\(\sqrt{c^2+a^2b^2}\ge c^2+ab\)
Cộng mại ta có: \(VT\ge ab+bc+ca+1\)
8 tháng 10 2021
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
gt <=> \(a+2901+b+2901+2\sqrt{\left(a+2901\right)\left(b+2901\right)}=4\left(c+2901\right)\) (Bình phương 2 vế)
<=> \(a+b+2\sqrt{\left(a+2901\right)\left(b+2901\right)}=4c+5802\) (1)
TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ, ĐƯỢC:
\(2\sqrt{\left(a+2901\right)\left(b+2901\right)}\le a+2901+b+2901\)
=> \(a+b+2\sqrt{\left(a+2901\right)\left(b+2901\right)}\le a+b+a+2901+b+2901\) (2)
TỪ (1) VÀ (2) TA ĐƯỢC:
=> \(4c+5802\le a+b+a+2901+b+2901\)
=> \(4c\le2\left(a+b\right)\)
=> \(2c\le a+b\)
VẬY TA CÓ ĐPCM: \(a+b\ge2c\)
chứng minh và vận dụng được bất đẳng thức \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(2\left(\sqrt{a+2901}^2+\sqrt{b+2901}^2\right)\ge\left(\sqrt{a+2901}+\sqrt{b+2901}\right)^2=4\sqrt{c+2901}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge4c\)
từ đó ta có đpcm