cho a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c)
c/m a=b=c=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2017
Lời giải:
Đặt \((ab,bc,ac)=(x,y,z)\)
Theo bài ra ta có:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)
TH1:
\(x+y+z=0\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc}=\frac{-1}{abc}\)
TH2:
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
Theo BĐT AM-GM ta luôn có \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(x=y=z\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\)
Khi đó, \(M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2a.2b.2c}=\frac{1}{8abc}\)
4 tháng 2 2018
Bài 3:
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\ge ab+bc+ca\) ( tự cm bđt nha )
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}=\dfrac{a^4}{ab+bc}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu " = " khi a = b = c = 1
Bài 4:
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)
( BĐT AM - GM )
Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{b^3}{c^2+a^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\)
\(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " khi a = b = c
4 tháng 2 2018
Tiếp sức cho Tú đệ
Bài 1: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{ab}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge VP."="\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 2: Holder:
\(\left(\dfrac{a^4}{bc^2}+\dfrac{b^4}{ca^2}+\dfrac{c^4}{ab^2}\right)\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\left(c+a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Cần chứng minh \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)
AM-GM: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}\cdot\dfrac{ca}{b}}=2c\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\("=" \Leftrightarrow a=b=c\)
15 tháng 11 2021
Bài 1:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow bc=-ab-ac\)
\(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b^2+2ca}=\dfrac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\\\dfrac{c^2}{c^2+2ab}=\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\end{matrix}\right.\)
\(M=\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)
Bài 2:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)(do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow A=\dfrac{0}{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}=0\)
HM
16 tháng 11 2021
chị giải thích cho em cái đoạn này với ạ
\(\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
Chắc là thực dương chứ nhỉ?
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{2}\)
\(A_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
2 tháng 9 2018
ta có: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2
=> 2.(ab+ac+bc) = 0
ab + ac + bc = 0
=> 1/a + 1/b + 1/c = 0
Lại có: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\frac{3}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)
\(=0.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)=0\)
=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3 -3/abc = 0
=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3 = 3/abc
giúp mình nhé
\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1+1+1-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\left(dpcm\right)\)