Question

[D.Công Thiện]

Cho hàm số y= (x² + x +m)². Tổng tất cả các giá trị thực của m để min y = 4 trên khoảng [-2;2] bằng ?

A. \(\frac{-31}{4}\) B. -\(\frac{23}{4}\) C. \(\frac{9}{4}\) D. -8

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(y=\left(x^2+x+m\right)^2=\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+m-\frac{1}{4}\right]^2\)

Đặt \(x+\frac{1}{2}=t\Rightarrow-\frac{3}{2}\le t\le\frac{5}{2}\) và \(\frac{1}{4}-m=n\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=\left(t^2-n\right)^2=t^4-2nt^2+n^2\)

Hàm trùng phương nên đồ thị đối xứng qua \(t=0\)

\(f'\left(t\right)=4t\left(t^2-n\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t^2=n\end{matrix}\right.\)

- Nếu \(n\le0\Rightarrow f'\left(t\right)=0\) có nghiệm duy nhất \(t=0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(0\right)=n^2=4\Rightarrow n=-2\Rightarrow m=\frac{9}{4}\)

- Nếu \(n>0\) ta chỉ cần quan tâm 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}t=\sqrt{n}\\t=-\sqrt{n}\end{matrix}\right.\) do \(t=0\) là cực đại nên min ko thể xảy ra tại đây

+TH1: \(n>\frac{25}{4}\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(n-\frac{25}{4}\right)^2=4\)

\(\Rightarrow n=\frac{33}{4}\Rightarrow m=-8\)

+ TH2: \(0\le n\le\frac{25}{4}\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=0\ne4\) (ktm)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=\frac{9}{4}\\m=-8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\)

Answer 2

[D.Công Thiện]

Cho mình hỏi là sao mình tìm khoảng giá trị của x²+x xong rồi tìm giá trị min trên đoạn [-2;2] thì sẽ ra

(m-\(\frac{1}{4}\))²=4 thì lại không được nhỉ ??