Cho x, y lớn hơn 0 và x+y=1. CMR x^4+y^4>_1/8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
OH
1
3 tháng 6 2019
Ta có : \(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)
\(8^y+8^y+8^2\ge3\sqrt[3]{8^y.8^y.8^2}=12.4^y\)
\(8^z+8^z+8^2\ge3\sqrt[3]{8^z.8^z.8^2}=12.4^z\)
\(8^x+8^y+8^z\ge3\sqrt[3]{8^x.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^6}=192\)
Cộng các vế , ta được :
\(3\left(8^x+8^y+8^z+64\right)\ge3\left(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}+64\right)\)
hay \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
22 tháng 6 2019
Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Tương tự và cộng lại
\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)
LT
2
NM
0
KN
22 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
KN
22 tháng 2 2020
Thật ra bài này không cần điều kiện \(x+y\le1\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)vẫn đúng với x,y dương và x = y.
Mình nghĩ nên chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)thì điều kiện \(x+y\le1\) sẽ có nghĩa!
Theo bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :
\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh