Question

[Siêu sao bóng đá]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a, Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b, Chứng minh: Tam giác HAE đồng dạng với tam giác HBF
c, Chứng minh: CE.CA = CF.CB
d, Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
Mình cần câu d thôi ạ!

Answer 1

[Trần Quốc Lộc]

a) AH // BK (cùng vuông góc BC)

AK // BH (cùng vuông góc AC)

=> Tứ giác AKBH là hình bình hành

b) Xét \(\Delta HAE\text{ và }\Delta HBF\text{ có }:\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HEA}=\widehat{HFB}=90^o\\\widehat{AHE}=\widehat{BHF}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HAE\sim\Delta HBF\)

c ) Xét \(\Delta BEC\text{ và }\Delta AFC\text{ có }:\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BEC}=\widehat{AFC}=90^o\\\widehat{C}\text{ }chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta AFC\Rightarrow\frac{CE}{CF}=\frac{CB}{CA}\Rightarrow CE\cdot CA=CB\cdot CF\)

d) Để tứ giác AHBK là hình thoi

thì => HK \(\perp AB\)

Mà CH \(\perp AB\) => C;H;K thẳng hàng.

Mà HK đi qua trung điểm AB

=> CH đi qua trung điểm AB

CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

=> Tam giác ABC cân tại C.