\(P=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)
\(a,b>1\)
GTNN
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 11 2019
1.
Vì x>0 nên \(A=\frac{16x+4+\frac{1}{x}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương
\(16x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{16x.\frac{1}{x}}=2.4=8\). Dấu "=" khi \(16x=\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=\frac{1}{16}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{16x+4+\frac{1}{x}}{2}\ge\frac{8+4}{2}=6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi \(x=\frac{1}{4}\)
2.
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{10}{ab}\)
Ta có: \(10=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le5\Rightarrow ab\le25\). Dấu "=" khi a = b = 5
\(\Rightarrow B=\frac{10}{ab}\ge\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\)
Vậy GTNN của B là \(\frac{2}{5}\)khi a = b = 5
NT
2
NT
0
HN
1
MG
1
2 tháng 8 2017
Đặt b-1=x;a-1=y>>E=(y+1)^2/x+(x+1)^2/y>=(y+1+x+1)^2/(x+y)(BĐT Cauchuy-Swartch)
=(x+y+2)^2/(x+y)=((x+y)^2+4(x+y)+4)/(x+y)=(x+y)+4+4/(x+y)
=(x+y)+4/(x+y)>+4>=4+4=8
Dấu =xảy ra khi (x+y)=4/x+y và x=y khi x=y=1(do x,y>0 vì a,b>1)
khi và chỉ khi a=b=2
Vậy E min =8 khi a=b=2
23 tháng 5 2019
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}=2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\)
Ta có:
\(\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-4a+4+4a-4}{a-1}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-1}+4\ge4\)
\(\frac{b^2}{b-1}=\frac{b^2-4b+4+4b-4}{b-1}=\frac{\left(b-2\right)^2}{b-1}+4\ge4\)
\(\Rightarrow A\ge8."="\Leftrightarrow a=b=2\)
20 tháng 2 2018
Xét : a^2/b-1 + 4.(b-1) >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4.\left(b-1\right)}\) = 4a
Tương tự : b^2/a-1 + 4.(a-1) >= 4b
<=> G + 4.(a-1)+(4.(b-1) >= 4a+4b
<=> G + 4a+4b-8 >= 4a+4b
<=> G >= 4a+4b-4a-4b+8 = 8
Dấu "=" xảy ra <=> a^2/b-1 = 4.(b-1) và b^2/a-1 = 4.(a-1) <=> a=b=2
Vậy GTNN của G = 8 <=> a=b=2
Tk mk nha
20 tháng 2 2018
đúng rồi
đúng
đúng
100000000000000000000000000000000000000000000000000%
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
Bạn tham khảo bạn nhé, mình cop lại ảnh thôi, vào TKHĐ của mình đẻ xem
Câu hỏi của haanhtuan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Hoặc vào TKHĐ của mình xem link