Cho a > b > 0 và a.b = 1.
Chứng minh: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)
Giúp mình với ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LH
1
25 tháng 6 2017
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\)= \(\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}\)= \(\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}\)= (a -b) + \(\frac{2ab}{a-b}\)
Vì a>b>0 nên áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :
(a - b) +\(\frac{2ab}{a-b}\)\(\ge\)\(2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2ab}{a-b}}\)= 2\(\sqrt{2ab}\)= \(2\sqrt{2}\)( Vì ab = 1) ( đpcm)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
CH
1
PT
1
9 tháng 9 2016
\(\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=\left(a-b\right)+\frac{2ab}{a-b}=\left(a-b\right)+\frac{1}{a-b}\)
Vì a>b>0=> \(a-b>0;\frac{1}{a-b}>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô ai ta có:\
\(\left(a-b\right)+\frac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}\)
=>đpcm
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
T
22 tháng 7 2019
Em làm thử nhé!
Bài 1: \(A=\left[\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\right]+\left[\frac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\right]-4\left(a+b\right)+8\)
Cauchy vào là ra rồi ạ;)
Bài 2: Em chịu
22 tháng 7 2019
2) Có: \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=1\); \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}=2\)
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}\ge\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3=\frac{a^2}{\sqrt{a}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge=\frac{2^2}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Lời giải:
Do $a>b$ nên $a-b>0$
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương ta có:
\(a+\frac{1}{b(a-b)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}.\frac{a-b}{2}.b.\frac{1}{b(a-b)^2}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b=\frac{1}{b(a-b)^2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{\frac{1}{2}}; b=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
14 tháng 10 2016
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{x^2}{x-2}\) với \(x=a^2+b^2\)
Xét \(x^2-8\left(x-2\right)=x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2\ge8\left(x-2\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-2}\ge8\)hay \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2-2ab\right)}\ge8\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge8\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)