Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=1, CMR:
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
1.
- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)
- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)
\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)
2.
\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)
\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)
\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai
Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút
Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)
24 tháng 6 2019
Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)
Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)
\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)
24 tháng 6 2019
Thiếu:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)
<=> a=b=c=1/3
DH
0
25 tháng 6 2021
Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)
Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)
Khi đó:
\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)
\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)
\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)
XO
25 tháng 6 2021
Vì a2 - b = b2 - c = c2 - a
Ta có a2 - b = b2 - c
=> (a - b)(a + b) = b - c
=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)
Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)
a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)
Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm)
NC
25 tháng 6 2021
Ta có:\(a^2-b=b^2-c\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\)
\(\Leftrightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{b-c}{a-b}+1\)
\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}\)
Cmtt ta có:
\(\hept{\begin{cases}b^2-c=c^2-a\Leftrightarrow b+c+1=\frac{b-a}{b-c}\\c^2-a=a^2-b\Leftrightarrow c+a+1=\frac{c-b}{c-a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)=\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-c}{b-a}.\frac{c-b}{c-a}=-1\)
Cre:mạng
\(CMR\) \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)