Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\) với x, y, z là ba số thực bất kỳ. Chứng minh \(m\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)
Khi đó 3 số được viết lại: \(\left(x-y\right)^2;\left(y-z\right)^2;\left(x-z\right)^2\)
\(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y\ge0\\y-z\ge0\\x-z\ge0\end{matrix}\right.\) mà \(x-z=x-y+y-z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z\ge x-y\\x-z\ge y-z\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\sqrt{m}=min\left\{x-y;y-z\right\}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y\ge\sqrt{m}\\y-z\ge\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x-z=x-y+y-z\ge2\sqrt{m}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge m\\\left(y-z\right)^2\ge m\\\left(x-z\right)^2\ge4m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow6m\le\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6m\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow6m\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left[\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow6m\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow m\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Vai trò x,y,z bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\ge z\)
m là số nhỏ nhất trong 3 số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\rightarrow\sqrt{m}\) là số nhỏ nhất trong ba số \(\left|x-y\right|,\left|y-z\right|,\left|z-x\right|\)
Ta có : \(\left|z-x\right|=x-z=\left(x-y\right)+\left(y-z\right)=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|\ge2\sqrt{m}\rightarrow\left(z-x\right)^2\ge4m\)
Mà : \(\left(y-z\right)^2\ge m,\left(x-y\right)^2\ge m\) nên :
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge6m\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)
\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
\(A=\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(2-3\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D