Question

[Linh Nhi]

chứng minh rằng với mọi số nguyên m;n bất kì thì A=mn(m⁴-n⁴) chia hết cho 5

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Xét m,n có 1 số chia hết cho 5 thì A \(⋮\)5

Xét m,n  đều không chia hết cho 5

Ta có : với a \(⋮̸\)5 thì a có dạng : \(5k\pm1;5k\pm2\)

\(\Rightarrow a^4=\left(5k\pm1\right)^4=B\left(5\right)+1\)chia 5 dư 1

\(a^4=\left(5k\pm2\right)^4=B\left(5\right)+16=B\left(5\right)+1\)chia 5 dư 1

từ đó suy ra \(m^4\)chia 5 dư 1 ; \(n^4\)chia 5 dư 1

\(\Rightarrow m^4-n^4\)chia hết cho 5

\(\Rightarrow A⋮5\)

Vậy ....

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có: \(A=mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\)

Xét \(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a^2-1\right)⋮5\)với mọi a nguyên bất kì

=> \(nm\left(m^4-1\right)=n\left[m\left(m^4-1\right)\right]⋮5\)với m nguyên 

\(nm\left(m^4-1\right)=m\left[n\left(n^4-1\right)\right]⋮5\)với n nguyên 

=> \(A=mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\) chia hết cho 5.