Cho \(x,y,z\in R\) thỏa mãn:
\(\frac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz\:=1\)
Tìm Min và Max của \(B=x+y+z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 2 2017
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge A^2\)
\(\Leftrightarrow A^2\le2\left(y^2+yz+z^2\right)+3x^2=36\)
\(\Leftrightarrow-6\le A\le6\)
KN
26 tháng 8 2020
Dự đoán \(MinA=2\)khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)và \(MaxA=3\)khi x = y = z = 1. Ta sẽ chứng minh \(2\le\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}\le3\)
Đặt \(a=x+1;b=y+1;c=z+1\), khi đó ta được\(a,b,c\in\left[\frac{3}{2};2\right]\)
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là \(2\le\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\le3\)
#Trước hết ta chứng minh\(2\le\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\)\(\Leftrightarrow5\le\frac{a+b-2}{c}+1+\frac{b+c-2}{a}+1+\frac{c+a-2}{b}+1\)\(\Leftrightarrow5\le\left(a+b+c-2\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo một đánh giá quen thuộc thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)nên ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng \(\left(a+b+c-2\right)\frac{9}{a+b+c}\ge5\)
Đặt \(a+b+c=s\)thì ta cần chứng minh \(\frac{9\left(s-2\right)}{s}\ge5\Leftrightarrow s\ge\frac{9}{2}\)*đúng vì \(a+b+c\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)*
Vậy bất đẳng thức bên trái được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
#Chứng minh \(\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\le3\)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(\frac{3}{2}\le a\le b\le c\le2\). Khi đó ta sẽ có\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)=\frac{\left(2-b\right)\left(a^2-2b\right)}{2ab}\le0\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\)
Hoàn toàn tương tự ta được \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\le\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\); \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\le a+\frac{4}{a}+\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\)
Ta cần chứng minh\(a+\frac{4}{a}+\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\le3+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\Leftrightarrow a+\frac{2}{a}+\frac{b}{2}\le3+\frac{2}{c}\)
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng vì\(\hept{\begin{cases}a+\frac{2}{a}-3=\frac{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}{a}\le0\Leftrightarrow a+\frac{2}{a}\le3\\\frac{b}{2}\le1\le\frac{2}{c}\end{cases}}\)
Vậy bất đẳng thức bên phải được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
IT
cho số thực:x, y, z thỏa mãn: \(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\). tìm Max và Min của biểu thức: A=x+y+z
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2017
Lời giải:
ĐKĐB \(\Leftrightarrow \frac{3x^2}{2}+y^2+yz+z^2=1\)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có \(yz\leq \left (\frac{y+z}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 1=\frac{3x^2}{2}+y^2+yz+z^2=\frac{3x^2}{2}+(y+z)^2-yz\geq \frac{3x^2}{2}+\frac{3(y+z)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}\geq x^2+\frac{(y+z)^2}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz: \(3\left [x^2+\frac{(y+z)^2}{2}\right]=\left [x^2+\frac{(y+z)^2}{2}\right](1+2)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Rightarrow 2\geq 3\left [x^2+\frac{(y+z)^2}{2}\right]\geq (x+y+z)^2\Rightarrow -\sqrt{2}\leq x+y+z\leq \sqrt{2}\)
Vậy
\(x+y+z (\max)=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left (\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\)
\(x+y+z(\min)=-\sqrt{2}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\frac{-\sqrt{2}}{3},\frac{-\sqrt{2}}{3},\frac{-\sqrt{2}}{3}\right)\)
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
20 tháng 10 2016
\(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y+z\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Từ đó tìm được MAX
N
8
25 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cauchy=Schwarz ta có:
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3}\)
Ta lại có:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}+1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
T
29 tháng 5 2019
Em làm lại,cách này mà còn sai nữa thì em xin hàng ạ! Dù sao đi nữa cũng xin mọi người chịu khó góp ý giúp em để em càng ngày càng tiến bộ hơn nữa ạ! Thanks all !
*Tìm min
Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx thì \(x^2+y^2+z^2=p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)
Suy ra \(A=p+q=p+\frac{p^2-1}{2}=\frac{p^2+2p-1}{2}\)
\(=\frac{p^2+2p+1-2}{2}=\frac{\left(p+1\right)^2-2}{2}\ge-\frac{2}{2}=-1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1.
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;-1) (chỗ này em không biết giải rõ thế nào nữa :v)
*Tìm max
Ta có BĐT sau: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\le x^2+y^2+z^2\)
Suy ra \(q\le\frac{p^2}{3}\le p^2-2q=1\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q\le p^2-2q=1\\p^2\le3\left(p^2-2q\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}q\le1\\p\le\sqrt{3\left(p^2-2q\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Suy ra \(A=p+q\le\sqrt{3}+1\)
\(3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\le2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
\(B_{min}=-\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(B_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)