Question

[Trần Anh Thơ]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2017abc và 2017(a + b + c) = 1

Tính A = a²⁰¹⁷ + b²⁰¹⁷ + c²⁰¹⁷

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

- Nếu một trong các số a;b;c bằng 0, giả sử là a

\(\Rightarrow bc=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\c=\frac{1}{2017}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2017^{2017}}\)

- Nếu a;b;c đều khác 0

\(ab+bc+ca=2017abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2017\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2017\\\frac{1}{a+b+c}=2017\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab+bc+ca+c^2}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b;c=\frac{1}{2017}\\b=-c;a=\frac{1}{2017}\\c=-a;b=\frac{1}{2017}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2017^{2017}}\)

Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn có \(A=\frac{1}{2017^{2017}}\)