Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) = \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{1-x}\)với 0 < x < 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VH
0
NV
1
BT
0
YH
1
12 tháng 7 2020
Với mọi 0 < x < 1 ta có:
\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{1-x}+\frac{1}{x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}=\sqrt{2}+1\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)
Kết luận:...
AT
1
19 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có :
\(\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\sqrt{1-x}^2+\sqrt{x}^2\right]\ge\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\frac{1}{x}}.\sqrt{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)\left(1-x+x\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\Rightarrow A\ge3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{2}-1\)
QL
1
HK
1 tháng 5 2020
\(y\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+1-x}=\frac{4}{1}=4\)
\("="\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{1-x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
UN
1
28 tháng 4 2019
Thật ra bài này dùng bđt Cô-si thì rất ngắn gọn , tham khảo tại đây
Tìm GTNN của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $0<x<1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Và mình xin làm thêm 1 cách nữa ( Do vừa nghĩ r :VV khá thú vị =)) đó là miền giá trị theo phương pháp đặc biệt)
Từ đề bài ta rút ra được y > 2
Ta có \(y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{2x+1-x}{x\left(1-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{x+1}{x-x^2}\)
\(\Leftrightarrow yx-yx^2=x+1\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x-yx+1=0\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x\left(1-y\right)+1=0\)
Pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(1-y\right)^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-2y+y^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow y^2-6y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\le3-2\sqrt{2}\\y\ge3+2\sqrt{2}\end{cases}}\)
Mà y > 2 nên y chỉ có thể lớn hơn hoặc bằng \(3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
Vậy \(y_{min}=3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
KA
0
\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\ge\frac{4}{x+1-x}=4\)
\(f\left(x\right)_{min}=4\) khi \(x=1-x\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
tại sao \(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\ge\frac{4}{x+1-x}\) vậy bạn