cho abc=1 . CMR : a/(ab + a +1)^2 + b/(bc + b + 1)^2 + c/(ca + c +1)^2 > 1/(a+b+c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
3
31 tháng 3 2017
Ta có: \(a^2,b^2,c^2\le1\Leftrightarrow-1\le a,b,c\le1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\ge0\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\frac{\left(a+b+c+1\right)^2}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+1+2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+1+2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+1\ge0\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được
\(abc+2\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=0\\c=-1\end{cases}}\) và các hoán vị của nó
30 tháng 3 2017
2(1+a+b+c+ab+bc+ac)
=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)
=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+2(a+b+c) +1
=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1
=(a+b+c+1)^2 >= 0
đúng thì cho 1 tíck nhé
NT
2
17 tháng 12 2016
Do a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 nên a2≤1a2≤1 ,b2≤1b2≤1 ,c2≤1c2≤1
=>a≥−1,b≥−1,c≥−1a≥−1,b≥−1,c≥−1
=>(1+a)(1+b)(1+c)≥0(1+a)(1+b)(1+c)≥0
=>1+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥01+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥0
Cần chứng minh 1+a+b+c+bc+ac+ab≥01+a+b+c+bc+ac+ab≥0
Ta có 1+a+b+c+ab+bc+ca≥01+a+b+c+ab+bc+ca≥0
<=>a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0
<=>2a2
17 tháng 12 2016
Do a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 nên a2≤1a2≤1 ,b2≤1b2≤1 ,c2≤1c2≤1
=>a≥−1,b≥−1,c≥−1a≥−1,b≥−1,c≥−1
=>(1+a)(1+b)(1+c)≥0(1+a)(1+b)(1+c)≥0
=>1+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥01+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥0
Cần chứng minh 1+a+b+c+bc+ac+ab≥01+a+b+c+bc+ac+ab≥0
Ta có 1+a+b+c+ab+bc+ca≥01+a+b+c+ab+bc+ca≥0
<=>a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0
<=>2a2
TN
6 tháng 7 2019
a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
T
29 tháng 1 2020
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{a^2-ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{abc}{a^2-ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{abc}{\left(a-b\right)^2+ab}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\frac{abc}{ab}=\Sigma_{cyc}c=a+b+c=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
P/s: Mình dùng kí hiệu \(\Sigma_{cyc}\) cho gọn, khi làm bạn tự viết rõ ra.
Theo Bun-hia-cop-xki:
\(M=\left[\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\left(a+b+c\right)\ge\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\right)^2\)
Với \(abc=1\)thì ta luôn có: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\)(Cái này nhiều rồi nên mình khỏi ghi lại)
\(\Rightarrow M\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)