Cho A=\(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+........+\frac{1}{99^3}\)
Chứng minh rằng
a/\(A< \frac{1}{12}\)
b/\(A>\frac{1}{27}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
$a^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}a$
$b^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}b$
$\Rightarrow a^3+b^3+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{ab}=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2-ab+b^2+ab+ab+ab}\)
\(=\frac{16}{(a+b)^2}=16\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
Bạn tham khảo ở link này nhé :
Câu hỏi của Tăng Minh Châu - Toán lớp 6 | Học trực tuyến