Cho 3 số thực a,b,c.Tìm GTNN của biểu thức \(M=\frac{3a^4+3b^4+c^3+2}{\left(a+b+c\right)^3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KB
23 tháng 3 2019
2 ) Ta có : \(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Do a ; b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\frac{a+b}{3}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}+2b-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
( áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Tìm min cho K, tìm max có lẽ Bunhia là ra thôi:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3a+1}=x\\\sqrt{3b+1}=y\\\sqrt{3x+1}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le x;y;z\le\sqrt{10}\)
\(x^2+y^2+z^2=3\left(a+b+c\right)+3=12\)
Bài toán trở thành cho \(x^2+y^2+z^2=12\), tìm min \(P=x+y+z\)
Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{10}\right)\le0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{10}+1\right)x+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{10}\right)=y^2-\left(\sqrt{10}+1\right)y+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(z-1\right)\left(z-\sqrt{10}\right)=z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)z+\sqrt{10}\le0\)
Cộng vế với vế:
\(x^2+y^2+z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)\left(x+y+z\right)+3\sqrt{10}\le0\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=\frac{12+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=2+\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{10}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;\sqrt{10}\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị
30 tháng 4 2020
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2019
\(P=\left(1+\frac{a}{3b}\right)\left(1+\frac{c}{3a}+\frac{b}{3c}+\frac{b}{9a}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{3}\left(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{27}\)
\(P\ge1+\frac{1}{27}+\frac{1}{3}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}+\frac{1}{9}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=\frac{64}{27}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{64}{27}\) khi \(a=b=c\)
Ta có \(2a^4+\left(a^4+1\right)\ge2a^4+2a^2\ge4a^3\)
\(\Rightarrow3a^4+1\ge4a^3\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{4\left(a^3+b^3\right)+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b\right)^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\left(1-\frac{c}{a+b+c}\right)^3+\frac{c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)
Đặt \(\frac{c}{a+b+c}=t\) (đề nhầm không ?)
\(\Rightarrow M\ge\left(1-t\right)^3+t^3\)
Bạn xem lại đề. Với từng này điều kiện thì không tìm được $M_{\min}$