Question

[Toán hay and khó]

cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O' ; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > R' ). vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O' ) sao cho AM vuông góc AN. gọi BC là 1 tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( O ) và ( O' ) với B thuộc ( O ) và C thuộc ( O' )

a) CMR : 3 đường thẳng MN,BC và OO' đồng quy

b) xác định vị trí của M và N để tứ giác MNOO' có diện tích lớn nhất. tính giá trị lớn nhất đó

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

a) Ta có : \(\widehat{MOA}=\widehat{O_1}'\left(=180^o-2\widehat{A_1}\right)\)

\(\Rightarrow\)O'N // OM

Gọi P là giao điểm của MN và OO'

Ta có : \(\frac{O'P}{OP}=\frac{O'N}{OM}=\frac{R'}{R}\)

gọi P' là giao điểm của BC và OO',ta có :

\(\frac{O'P'}{OP'}=\frac{O'C}{OB}=\frac{R'}{R}\)

Suy ra \(P'\equiv P\)

b) gọi H là hình chiếu của O' trên OM

tứ giác MNO'O là hình thang nên \(S=\frac{\left(OM+O'N\right)O'H}{2}\)

\(S=\frac{R+R'}{2}.O'H\le\frac{R+R'}{2}.OO'=\frac{\left(R+R'\right)^2}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(H\equiv O\Leftrightarrow OM\perp OO'\)

Vậy ...