cho x,y>0 thỏa mãn (xy)^2-3=x^2+y^2 tìm Min xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CT
0
QB
0
16 tháng 11 2015
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=3+2\sqrt{2}\)
Amin =\(3+2\sqrt{2}\) khi x =y =1/2
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
3 tháng 7 2021
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel có:
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)
3 tháng 7 2021
áp dụng BDT AM-GM
\(=>x+y\ge2\sqrt{xy}=>1\ge2\sqrt{xy}=>\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}=>xy\le\dfrac{1}{4}\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=4+2=6\)
dấu"=" xảy ra \(< =>x=y=\dfrac{1}{2}\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
TN
17 tháng 5 2016
\(GT\Leftrightarrow x^2+y^2+1+2xy-2x-2y=xy\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1-xy\rightarrow xy\le1\)
\(\rightarrow\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y\right)\le0\rightarrow x+y\le2\)
\(\text{Ta có:}P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}=\frac{1}{2xy}+\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{1}{2xy}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2xy}{\left(x+y\right)^2}=\left(\frac{1}{2xy}+\frac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\right)+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{2}{x+y}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2}{2}+\frac{4}{2^2}=2\)
Vậy MinP=2 <=>x=y=1
\(\left(xy\right)^2-3=x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(xy\right)^2-2xy-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+1\right)\left(xy-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-3\ge0\Rightarrow xy\ge3\)
\(\Rightarrow xy_{min}=3\) khi \(x=y=\sqrt{3}\)