Question

[Trang Nana]

Trong không gian với hê trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+y+z=0 và hai điểm A(4;-3;1) và B(2;1;1). Số điểm M thuộc mặt phẳng (Q) sao cho tam giác ABM vuông cân tại M là:

A.1 B.4 C.3 D.2

(Giải thích giùm mình)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow N\left(3;-1;1\right)\)

ABM cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\Rightarrow\) M thuộc mặt phẳng trung trực (P) của AB

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;4;0\right)=-2\left(1;-2;0\right)\Rightarrow\) phương trình (P)

\(1\left(x-3\right)-2\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-2y-5=0\)

ABM vuông tại M \(\Rightarrow\) M thuộc mặt cầu (S) tâm N nhận AB là 1 đường kính

\(R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2^2+4^2}}{2}=\sqrt{5}\)

Phương trình (S):

\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x-2y-5=0\\\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y+5\\z=-3y-5\\\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

Thế 2 pt trên vào pt dưới cùng và rút gọn:

\(7y^2+23y+18=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-\frac{9}{7}\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(\frac{17}{7};-\frac{9}{7};-\frac{8}{7}\right)\\M\left(1;-2;1\right)\end{matrix}\right.\)